Feladat: F.2769 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Podoski Károly. 
Füzet: 1990/szeptember, 254 - 255. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Trigonometriai azonosságok, Térgeometriai bizonyítások, Szabályos tetraéder, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1989/november: F.2769

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a szabályos tetraéder alaplapjának csúcsai A, B, C, a negyedik csúcsa D. Ismeretes, hogy ha egy síkot két másik, egymással párhuzamos síkkal metszünk, a kapott metszésvonalak párhuzamosak lesznek. Ezért a metsző síkot felvehetjük a D csúcson keresztül is, ettől α, β, γ nem változnak. Ekkor az ABC alaplappal képezett metszésvonal átmegy az ABC háromszög magasságpontján. Messe ez a metszésvonal például a BC oldalt E-ben, AC-t F-ben, AB egyenesét pedig G-ben. Legyen a tetraéder magassága m, az alapháromszögé h, és jelöljük az EGB szöget φ-vel. Utóbbi jelölésünkkel ‐ mint az a jobb oldali ábráról látható ‐ CFE∢=60∘-φ, és CEF∢=60∘+φ.

 
 

A bal oldali ábra alapján
tg α=DOGO,  a jobb oldali ábra alapján pedig  GO=h3⋅sinφ.

Ezért
tg α=3mh⋅sinφ.(1)
Hasonlóan
tg β=DOFO,  és  FO=h3⋅sin(60∘-φ),

ezért
tg  β=3mh⋅sin(60∘-φ),(2)
tg  γ=-3mh⋅sin(60∘+φ),(3)
ahol figyelembe vettük, hogy esetünkben γ tompaszög.
Azt kell bizonyítanunk, hogy
tg   α+tg   β+tg   γ=0,
azaz
3mh[sinφ+sin(60∘-φ)-sin(60∘+φ)]=0.(4)
Ismert azonosság szerint
sin(60∘-φ)-sin(60∘+φ)=-2⋅cos60∘⋅sinφ=-sinφ,
tehát (4) igaz. (Eljárásunk természetesen akkor is alkalmazható, ha az alaplapra illeszkedő metszésvonal átmegy valamelyik csúcson.)
Megjegyzés. A feladat állítása csak akkor igaz, ha az α, β, γ szögeket alkalmasan irányítjuk. Ezt úgy tettük meg, hogy az O és E pontokat tartalmazó egyenest irányított egyenesnek tekintettük, és α, β, γ az irányított egyenessel bezárt szöget jelentette.