|
Feladat: |
F.2768 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bánfalvi K. , Bíró N. , Erben P. , Futó T. , Gáspár A. , Hajnal J. , Harcos G. , Horváth I. , Jelencsics Mikolt , Kiss 128 I. , Kovács F. , Lente G. , Madarász Judit , Magó K. , Miklós Gy. , Németh S. , Podoski Károly. , Pór A. , Sági Z. , Schuman Á. , Szalkai Á. , Székely-Dobi A. , Szekeres B. , Szendrői B. , Tokodi T. , Turányi Z. , Virág Z. , Wiener G. |
Füzet: |
1990/október,
301 - 304. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Transzformációk fixpontjai, fixalakzatai, Transzformációk szorzata, Szabályos tetraéder, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1989/november: F.2768 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Mivel az első transzformáció szerint képe , képe , és fixpont,
Jelöljük a második transzformációval létesített hozzárendelést nyíllal: ekkor
| | (2) | és mivel ez egybevágósági transzformáció, (2)-höz hasonlóan kapjuk, hogy
amiből Az (1) egyenlőség miatt a (3) és (4)-ben szereplő összes szakaszok egyenlőek, tehát az , , , , pontok közül bármelyik kettő távolsága megegyezik. Ez azt jelentené, hogy és szabályos tetraéderek. A két tetraéder lapja közös, ezért és vagy egybeesnek, vagy tükrösek az lap síkjára. Ha , akkor mind az öt pont egybeesik, és ekkor és egyaránt zérus, arányukat nem értelmezzük (bár lehetséges lenne ilyen esetben arányról beszélni). Ha és tükrösek az lapra, akkor a szabályos tetraéder magasságának kétszerese, azaz , ami azt jelenti, hogy . Ez ellentmond (3)-nak, ezért az öt pont eme elrendezése nem felel meg a feltételeknek. Arra az eredményre jutottunk, hogy a feladat feltételeinek megfelelő különböző pontok nem léteznek a (három dimenziós) térben. Megjegyzések. 1. Könnyű látni, hogy a síkban nem lehet felvenni négy különböző pontot úgy, hogy bármelyik kettő távolsága ugyanakkora legyen, de a térben ez lehetséges. Matematikai absztrakció a négy dimenziós tér fogalma. Ebben értelmezhető a (három dimenziós) térbeli szabályos tetraéder általánosítása, egy olyan test, amelynek öt csúcsa van, és bármelyik két csúcsának távolsága ugyanakkora, azaz élei egyenlőek. 2. Feladatunkban ‐ és ugyanígy a 2589. gyakorlatban is ‐ a megoldás döntő részét annak a vizsgálata tette ki, hogy a két feltételezett transzformáció véges sokszori alkalmazásával az adott pontok (ill. az ezek által meghatározott szakaszok) milyen hozzárendelései valósíthatók meg; mindkét esetben azt találtuk, hogy bármely két pontpár átvihető egymásba. A feladatok hátterében az a tény áll, hogy ilyen módon minden kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés előállítható. Általánosabban a következőt láthatjuk be: Legyenek , , , tetszőleges, de egymástól különböző objektumok, és jelöljük rendre -vel és -vel a következő megfeleltetéseket: () , , , , , ill. () , , , , . Ha , , , az , , elemeket jelöli egy tetszőleges sorrendben, akkor és véges sokszori alkalmazásával megkaphatjuk az , , , megfeleltetést. Az állítás igazolásához először a () , , , , , megfeleltetéseket állítjuk elő (itt és nyilván ). Könnyen látható, hogy ha először a megfeleltetést alkalmazzuk ()-szer, majd a -t, és végül ()-szer a megfeleltetést, akkor eredményül éppen a -hez jutunk:
és , -re | | Ezután a () , , , , , , () megfeleltetéseket állítjuk elő, amelyek tehát -t és -t felcserélik, a többieket pedig helyben hagyják (önmaguknak feleltetik meg). Egymás után hajtsuk végre ugyanis a , , , , , , , megfeleltetéseket: az eredmény nyilvánvalóan lesz. Végül egy tetszőleges , , , sorrend a következőképpen érhető el: ha , akkor alkalmazásával: ( esetén ez a lépés természetesen kimarad.) Ha most és , akkor másodjára a leképzést végrehajtva ( miatt): | | Az előbbiekhez hasonlóan, és jelöléssel , , , így elvégzése után:
Folytatva és cseréjével, majd tovább, látható, hogy a kívánt megfeleltetés összesen legfeljebb () hasonló lépésben elérhető. |
|