Kezdőlap


Feladat:	F.2767	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Kovács F. , Podoski Károly. , Pór A.
Füzet:	1990/szeptember, 253 - 254. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Diszkusszió, Síkgeometriai szerkesztések, Parabola, mint kúpszelet, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/november: F.2767

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a parabola érintője $e$ , az érintési pont $E$ , a paraméter $p$ . Használjuk az ábra további jelöléseit. A parabola definíciója szerint $E F = E Q$ , és ismeretes, hogy a parabola érintője felezi az $E F$ és $E Q$ szakaszok által bezárt szöget. Ezért $Q F$ merőleges az érintőre, és így a $Q$ -nál és $E$ -nél lévő egyíves szögek merőleges szárú hegyesszögek, ezért egyenlők. Ez a szög ismert, megegyezik a tengely és az érintő által bezárt szöggel. Ismeretes még a $D F = p$ szakasz is, ezért a $D F Q$ derékszögű háromszög megszerkeszthető, és így megkaptuk a $D Q$ szakasz hosszát.

Ezután a szerkesztést a következőképpen végezhetjük el. Az

E

ponttól

D Q

távolságban párhuzamost szerkesztünk az adott tengelyiránnyal, így kapjuk a

t

tengelyt. Meghúzzuk a vele párhuzamos

E Q

egyenest, majd ezt tükrözzük

e

-re. A tükörkép a

t

tengelyt az

F

fókuszban metszi.

F

-nek

e

-re vonatkozó tükörképe a

Q

pont, amelyen át

t

-re merőlegest állítva kapjuk a

d

vezéregyenest. A feladat pontosan akkor oldható meg, ha

e

és az adott tengelyirány nem párhuzamosak. Minthogy

E

-től

D Q

távolságra két párhuzamos húzható, a feladatnak két megoldása lesz, amelyek egymásnak

E

-re vonatkozó tükörképei. Speciálisan, ha

e

és

t

merőlegesek, akkor

E

a parabola tengelypontja, és

E F = \frac{p}{2}

. Ekkor a szerkesztés igen egyszerű, és ugyancsak két megoldást ad.