A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Először megvizsgáljuk, hogy milyen értékeket vehet fel az különbség. Tekintsük először a sorozat különbségsorozatát, mert ez könnyebben becsülhető:
és itt a nevezőben a gyökjelek alatt 1-nél nagyobb, illetve 3-nál kisebb szám áll, tehát a nevező nagyobb, mint 2, és kisebb, mint . Ezért . Innen következik, hogy . Hiszen, ha két szám különbsége 1-nél nagyobb, akkor nem lehet azonos az egész részük. Másrészt . Így azt kapjuk, hogy csak 1 vagy 2 lehet. Ha csak véges sok esetben, mondjuk esetben lehetne 2, különben mindig 1-nek kellene lennie, akkor lenne, ha olyan nagy, hogy már minden 2-es különbség szerepel a jobb oldalon. Másrészt , így azt kapjuk, hogy minden, elég nagy -re , azaz . Itt a jobb oldal rögzített szám, a bal oldal pedig plusz végtelenhez tart, ami ellentmondás. Ezzel beláttuk, hogy az különbség végtelen sokszor veszi fel a 2 értéket. Most tegyük fel, hogy csak véges sokszor, mondjuk esetben veszi fel az 1 értéket. Ekkor , ha olyan nagy, hogy már minden 1-es különbség szerepel a jobb oldalon. De , így most azt kapjuk, hogy , tehát minden elég nagy -re , s ez megint ellentmondás. Így az különbség végtelen sokszor veszi fel az 1 értéket is. Más értéke nem lehet, ezzel a bizonyítást befejeztük. II. megoldás. Jelöljük ismét -nel -et. Ekkor 1-re hiszen . Ebből következik, hogy és . Ez utóbbi egyenlőtlenség szerint , tehát , míg az első egyenlőtlenség alapján , tehát . Az különbség csak két értéket vehet tehát fel: lehet 1 és 2. Először azt mutatjuk meg, hogy végtelen sokszor veszi fel az értéket. Ehhez tekintsük a különbséget. Ez (1) szerint legföljebb , így . Ebből következik, hogy az különbség legfeljebb 3. Akkor viszont az és az különbségek közül legalább az egyik 1 (különben összegük 2+2=4 volna!). Beláttuk tehát, hogy két szomszédos különbség között legalább az egyik 1, s így valóban végtelen sok 1 van közöttük. Hasonlóan bizonyíthatjuk, hogy három szomszédos között legalább egy esetben 2 a különbség. Ellenkező esetben ugyanis | | s így volna. De (1) szerint | | ami ellentmondás. Ezzel beláttuk, hogy a 2 érték is végtelen sokszor fordul elő. |