Kezdőlap


Feladat:	F.2764	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Harcos Gergely , Podoski Károly. , Szekeres B.
Füzet:	1990/május, 207. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Exponenciális egyenletrendszerek, Logaritmusos egyenletrendszerek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/november: F.2764

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az első egyenletből következik, hogy ${log}_{3} a b c = 0$ , azaz $a b c = 1$ , valamint az is, hogy $a$ , $b$ , $c$ pozitív. Megmutatjuk, hogy minden ilyen $a$ , $b$ , $c$ -re

\begin{matrix} 3^{3^{a}} + 3^{3^{b}} + 3^{3^{c}} ≧ 81, \end{matrix}

(1)

és egyenlőség csak

a = b = c

esetén áll. A számtani és mértani közép közti egyenlőtlenség szerint,

a + b + c = d

jelöléssel

\begin{matrix} \frac{3^{3^{a}} + 3^{3^{b}} + 3^{3^{c}}}{3} ≧ \sqrt[3]{3^{3^{a}} \cdot 3^{3^{b}} \cdot 3^{3^{c}}} = 3^{(3^{a} + 3^{b} + 3^{c}) / 3} ≧ \end{matrix}

\begin{matrix} ≧ 3^{\sqrt[3]{3^{a} \cdot 3^{b} \cdot 3^{c}}} = 3^{\sqrt[3]{3^{a + b + c}}} = 3^{3^{\frac{d}{3}}} . \end{matrix}

(A második egyenlőtlenségnél kihasználtuk, hogy ha az

x

kitevő csökken, akkor

3^{x}

is csökken.) Végül

\begin{matrix} \frac{d}{3} = \frac{a + b + c}{3} ≧ \sqrt[3]{a b c} = 1, tehát 3^{3^{d / 3}} ≧ 3^{3} = 27. \end{matrix}

Ezzel azt kaptuk, hogy

(3^{3^{a}} + 3^{3^{b}} + 3^{3^{c}}) / 3 ≧ 27

, ahonnan (1) következik. Ha végignézzük az egyenlőtlenségeket, mindig a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséget, valamint az

x \mapsto 3^{x}

függvény (szigorú) monotonitását használtuk, tehát mindenütt akkor van egyenlőség, ha

a = b = c

, s az

a b c = 1

feltevés szerint ekkor

a = b = c = 1

. Ez az egyenlet egyetlen és valóban jó megoldása.

Harcos Gergely (Bp., ELTE Apáczai Csere J. Gimn., III. o. t.)