A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A feladat kérdésére nemleges választ kell adnunk. Bebizonyítjuk ugyanis, hogy tetszőleges 4-nél nagyobb egész esetén létezik olyan csúcsú konvex test, amelynek csúcsaira a , számok valamelyikét írva, az egy csúcsba futó élek másik végpontjához írt számok szorzata minden csúcs esetén lesz. Legyen először páros. Tekintsünk egy olyan gúlát, amelynek alapja oldalú szabályos sokszög, és írjunk minden csúcsra -et. Ilyen test miatt biztosan létezik. Az egy csúcsba futó élek másik végpontjához írt számok szorzata minden csúcsra lesz, hiszen az alap mindegyik csúcsába 3 él fut be, az alappal szemközti csúcsba pedig , ami páratlan. Legyen ezután páratlan. Vegyünk most egy olyan gúlát, amelynek alapja oldalú szabályos sokszög, és tükrözzük ezt a gúlát az alaplapjára. Legyen az alappal szemközti csúcs , a tükörképe . Világos, hogy a gúla és tükörképe együtt egy csúcsú konvex test, és miatt létezik ilyen test. Írjunk a csúcsra -et, az összes többi csúcsra pedig -et. Az oldalú sokszög bármelyik csúcsába 4 él fut be, amelyek közül egynek a másik végpontjánál van, a többi 3 él másik végpontjánál pedig . Az és pontok mindegyikébe él fut be, és ezeknek az éleknek a másik végpontjánál van. Ezért a kérdéses szorzat minden csúcsra most is . Ezt akartuk bizonyítani. Harcos Gergely (Bp., Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., III. o. t.)
|