Kezdőlap


Feladat:	F.2752	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Czikó András , Kiss 128 J. , Majthényi Ágnes , Szabó 972 S.
Füzet:	1990/március, 107 - 108. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális számok és tulajdonságaik, Nevező gyöktelenítése, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/szeptember: F.2752

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Minthogy $\sqrt[4]{32} = 2 \sqrt[4]{2}$ , először ezt próbáljuk átalakítani, hogy csak $\sqrt[]{2}$ -es tagok maradjanak:

\begin{matrix} \frac{1}{1 + \sqrt[4]{32} - 5 \sqrt[]{2}} = \frac{1 - 5 \sqrt[]{2} - \sqrt[4]{32}}{{(1 - 5 \sqrt[]{2})}^{2} - \sqrt[]{32}} = \frac{1 - 5 \sqrt[]{2} - \sqrt[4]{32}}{51 - 14 \sqrt[]{2}} . \end{matrix}

Most már könnyen gyökteleníthetjük a nevezőt, ha

51 + 14 \sqrt[]{2}

-vel bővítjük a törtet. Így

\begin{matrix} \frac{1}{1 + \sqrt[4]{32} - 5 \sqrt[]{2}} = \frac{(1 - 5 \sqrt[]{2} - \sqrt[4]{32}) (51 + 14 \sqrt[]{2})}{51^{2} - 2 \cdot 196} = \frac{(51 + 14 \sqrt[]{2}) (1 - 5 \sqrt[]{2} - \sqrt[4]{32})}{2209} . \end{matrix}

Majthényi Ágnes (Győr, Révai M. Gimn, III o. t)

II. megoldás. A tört nevezője

a + b \sqrt[4]{2} + c {(\sqrt[4]{2})}^{2} + d {(\sqrt[4]{2})}^{3}

alakú, hiszen

1 + \sqrt[4]{32} - 5 \sqrt[]{2} = 1 + 2 \sqrt[4]{2} - 5 {(\sqrt[4]{2})}^{2}

. Képzeljük el, hogy sikerült a törtet gyökteleníteni. Nyilván mindig ilyen alakú számot kapunk. Keressünk tehát olyan

a

b

c

d

racionális számokat, amelyekre

\begin{matrix} (a + b \sqrt[4]{2} + c {(\sqrt[4]{2})}^{2} + d {(\sqrt[4]{2})}^{3}) (1 + 2 \sqrt[4]{2} - 5 {(\sqrt[4]{2})}^{2}) = 1. \end{matrix}

Az összeszorzás után

\sqrt[4]{2}

együtthatója

b + 2 a - 10 d

{(\sqrt[4]{2})}^{2} = \sqrt[]{2}

együtthatója

2 b + c - 5 a

{(\sqrt[4]{2})}^{3}

együtthatója

d - 2 c - 5 b

lesz, míg a "racionális rész''

a - 10 c - 4 d

. Ha tehát találunk olyan

a

b

c

d

racionális számokat, amelyekre

\begin{matrix} 2 a + b - 10 d = 0, \\ - 5 a + 2 b + c = 0, \\ - 5 b + 2 c + d = 0, \\ a - 10 c + 4 d = 1, \end{matrix}

akkor megoldottuk a feladatot. Valamelyik ismert egyenletrendszer-megoldási módszerrel megoldva az egyenletet

a = \frac{- 89}{2209}

b = \frac{- 102}{2209}

c = \frac{- 241}{2209}

d = \frac{- 28}{2209}

adódik megoldásnak. Tehát

\frac{1}{1 + \sqrt[4]{32} - 5 \sqrt[]{2}} = - \frac{89 + 102 \sqrt[4]{2} + 241 \sqrt[]{2} + 28 \sqrt[4]{8}}{2209}

Czikó András (Kisvárda, Bessenyei Gy. Gimn, IV o. t.)