Kezdőlap


Feladat:	F.2747	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Boncz András
Füzet:	1989/december, 451 - 453. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szorzat, hatványozás azonosságai, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Trigonometrikus egyenletek, Egyenletek, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/május: F.2747

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az egyenlet bal oldalán álló tört átalakítható úgy, hogy csak egyszer szerepeljen benne az ismeretlen:

\begin{matrix} \frac{5 x}{x + 5} = \frac{5}{1 + \frac{5}{x}} . \end{matrix}

(Nyilván

x = 0

nem megoldás.) Természetesen

x

is hasonló alakba írható:

\begin{matrix} x = \frac{5}{\frac{5}{x}}, \end{matrix}

s ha most az

y = 0, 5 + \frac{5}{x}

helyettesítést alkalmazzuk, az egyenlet szimmetrikussá válik:

\begin{matrix} \frac{25}{{(y - 0, 5)}^{2}} + \frac{25}{{(y + 0, 5)}^{2}} = 1. \end{matrix}

Ez az egyenlet már a

{(y^{2} - 0, 25)}^{2}

közös nevezővel szorozva

y^{2}

-re másodfokú (míg az eredeti egyenletben a szorzás után megmaradnak a páratlan fokú tagok is):

\begin{matrix} 50 (y^{2} + 0, 25) = y^{4} - 0, 5 y^{2} + 0, 25^{2} . \end{matrix}

Ebből a

\begin{matrix} 16 y^{4} - 808 y^{2} - 199 = 0 \end{matrix}

egyenlethez jutunk, amelynek pozitív gyöke

\begin{matrix} y^{2} = \frac{101 + 20 \sqrt[]{26}}{4}; \end{matrix}

innen két megoldást kapunk :

\begin{matrix} x_{1} = \frac{10}{\sqrt[]{101 + 20 \sqrt[]{26}} - 1} \approx 0, 7549 és x_{2} = \frac{10}{- \sqrt[]{101 + 20 \sqrt[]{26}} - 1} \approx - 0, 6559. \end{matrix}

Az átalakítások végig megfordíthatók, így ezek az értékek valóban megoldások.

II. megoldás. Az általánosabb

x^{2} + {(\frac{a x}{x + a})}^{2} = 1

egyenletet fogjuk megoldani

| a | ≧ 1

esetben. (Az

| a | < 1

eset diszkussziója egy kicsit bonyolultabb, de nincs rá szükségünk: a feladatban

a = 5

.).
Tekintsük az

x \mapsto x^{2} + {(\frac{a x}{x + a})}^{2}

függvényt; ez

| x | ≧ 1

esetén egynél nagyobb értéket vesz fel, míg

x = 0

-ban nulla az értéke. Így az egyenletnek van legalább egy-egy gyöke a (

- 1,0

) és a (

0,1

) intervallumban, és máshol nincs gyöke. (Felhasználtuk, hogy függvényünk folytonos). Egyenletünk pontosan azt jelenti, hogy valamilyen

α

számra

x = sin α

és

\frac{a x}{x + a} = cos α

. Az

\frac{a x}{x + a}

törtben elvégezve az

x = sin α

helyettesítést, rendezés után az

\begin{matrix} a (- cos α + sin α) = sin α cos β \end{matrix}

(1)

egyenlethez jutunk. Ezt négyzetre emelve és alkalmazva a

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

összefüggést,

sin α cos α = u

-ra másodfokú egyenletet nyerünk:

u^{2} + 2 u a^{2} - a^{2} = 0

, azaz

sin α cos α = u = - a^{2} \pm \sqrt[]{a^{4} + a^{2}}

. Ismeretes, hogy

\begin{matrix} | sin α cos α | = | \frac{sin 2 α}{2} | ≦ \frac{1}{2}, \end{matrix}

másrészt

\begin{matrix} - a^{2} - \sqrt[]{a^{4} + a^{2}} < - 2 a^{2} ≦ - 2, ha | a | ≧ 1. \end{matrix}

Ezért csak az

u = - a^{2} + \sqrt[]{a^{4} + a^{2}}

gyök ad megoldást

α

-ra. A továbbiakban kiszámítjuk

sin α + cos α

és

sin α - cos α

értékét.(1) szerint

\begin{matrix} - cos α + sin α = - a + e \sqrt[]{1 + a^{2}} (e = \frac{| a |}{a} = 1 vagy - 1) . \end{matrix}

Másrészt

{(cos α + sin α)}^{2} = 1 + 2 u = 1 - 2 a^{2} + 2 | a | \sqrt[]{1 + a^{2}}

, így

\begin{matrix} cos α + sin α = \pm \sqrt[]{(1 - 2 a^{2} + 2 | a | \sqrt[]{1 + a^{2}})} . \end{matrix}

A két egyenletet összeadva és kettővel osztva:

\begin{matrix} x = sin α = \frac{e \sqrt[]{1 + a^{2}} - a \pm \sqrt[]{1 - 2 a^{2} + 2 | a | \sqrt[]{1 + a^{2}}}}{2} . \end{matrix}

(A gyökjelek alatt pozitív számok állnak.) Legföljebb ez a két érték lehet gyök. Másrészt láttuk, hogy az egyenletnek legalább két gyöke van, így a fenti két megoldás gyöke az egyenletnek és több nincs.

\begin{matrix} x_{1,2} = \frac{\sqrt[]{26} - 5 \pm \sqrt[]{10 \sqrt[]{26} - 49}}{2} . \end{matrix}

Boncz András (Zalaegerszeg, Zrínyi M. Gimn., II. o. t.)

Megjegyzések: 1. Természetesen az I. megoldás gondolatmenete is alkalmazható az általános esetben.
2. A két megoldás különböző alakú eredményt ad, de közvetlenül is ellenőrizhető, hogy ezek egyenlőek. Ugyanis

\begin{matrix} 10 \sqrt[]{26} - 49 = 2 - {(\sqrt[]{26} - 5)}^{2} = \frac{2 {(\sqrt[]{26} + 5)}^{2} - 1}{{(\sqrt[]{26} - 5)}^{2}}, \end{matrix}

így pl.

\begin{matrix} x_{1} = \frac{\sqrt[]{26} - 5 + \sqrt[]{10 \sqrt[]{26} - 49}}{2} = \frac{1 + \sqrt[]{2 {(\sqrt[]{26} + 5)}^{2} - 1}}{2 (\sqrt[]{26} + 5)} = \\ = \frac{1 + \sqrt[]{101 + 20 \sqrt[]{26}}}{2 (\sqrt[]{26} + 5)} = \frac{100 + 20 \sqrt[]{26}}{2 (\sqrt[]{26} + 5)} \cdot \frac{1}{\sqrt[]{101 + 20 \sqrt[]{26}} - 1} = \frac{10}{\sqrt[]{101 + 20 \sqrt[]{26}} - 1} . \end{matrix}