A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyenek a megszerkesztendő négyszög csúcsai , , és , a szögei , , és , az átló , a átló pedig . Föltesszük tehát, hogy a szögek és az átlók sorrendje rögzített. Ha ez nem így lenne, az alább leírt megoldáshoz hasonlóan további 5 esetet kellene még tekintenünk.
1. ábra Tegyük fel először, hogy a konvex négyszög nem húrnégyszög. Ekkor van két olyan szemközti szöge, amelyek összege kevesebb, mint . Válasszuk meg úgy a jelölést, hogy legyen. Az 1. ábrán megrajzoltuk az háromszög köré írható kört. Mivel , ez a kör a és a szakaszt egy-egy belső pontjában metszi, legyenek ezek és . A kört az szög és az átló egyértelműen meghatározza, ezért ismerjük az és szakasz hosszát is, mint a körben a , illetve kerületi szöghöz tartozó húrt. A szerkesztés tehát a következőképpen végezhető: Megszerkesztjük a kört, és a kerületén felvesszük az , majd az és pontokat. Ezután megszerkesztjük -hez az egyenes -t nem tartalmazó félsíkjában a szögű látókörívet, és ezt elmetsszük az középpontú sugarú körrel. Így megkaptuk a pontot, és pedig kimetszi -ból -t és -t. A szerkesztése egyértelmű, és tetszőlegesen fölvehető a körön. Felhasználva, hogy , -re pontosan két lehetőség van ‐ hiszen konvex ‐, de elegendő az egyiket tekinteni, mert kétféle helyzete az -ból húzható átmérőre szimmetrikus. Az számára hasonlóan két lehetőség van, mint -re. Ezért tekintett helyzetéhez lehetőségei szerint egy-, vagy kétféle folytatás lehetséges. Az fölötti szögű látókörívet az középpontú sugarú kör legfeljebb két pontban metszheti, ezért a feladatnak 4, 2, 1 vagy 0 megoldása lehetséges.
2. ábra Legyen ezután . Az és adatok most is meghatározzák a kört. Vegyük fel a 2. ábra szerint a csúcsnál a szöget. Messék ennek szárai a kört az és pontokban. A feladat megoldható, ha most , és mivel konvex szög, végtelen sok megoldása van.
Szendrői Balázs (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., I. o. t.)
Megjegyzések. Megoldóink egy része trigonometriai eszközökkel kiszámított olyan adatot, amely körzővel és vonalzóval megszerkeszthető, és amely kulcsa lehet a feladat megoldásának. Ezek között a megoldók között volt olyan ‐ pl. Benkő Dávid ‐ aki az adatok közötti egyenlőtlenségekkel is megfogalmazta a megoldhatóság feltételeit, illetve megállapította a megoldások számát. Ezek a számítások azonban olyan bonyolultak, hogy a belőlük nyert feltételek gyakorlatilag aligha használhatók. Ezért elégedtünk meg a fenti igen szép megoldásban a kevésbé korrektnek látszó kvalitatív diszkusszióval.
|