Kezdőlap


Feladat:	F.2740	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Peták Attila
Füzet:	1989/november, 385. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyökös függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/április: F.2740

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenletnek csak $x ≧ \frac{3}{4}$ esetén lehet megoldása. Tekintsük az

\begin{matrix} f (x) = \sqrt[]{- 3 + 4 x} \end{matrix}

függvényt. Ez a függvény

x ≧ \frac{3}{4}

esetén értelmes és szigorúan monoton nő. A feladat egyenlete

\begin{matrix} x = f (f (f (x))) \end{matrix}

alakba írható. Ha

x > f (x)

, akkor

f

szigorú monotonitása miatt

f (x) > f (f ((x))

és

f (f (x)) > f (f (f (x)))

, tehát

x > f (x) > f (f ((x)) > f (f (f (x)))

. Ilyen

x

tehát nem lehet megoldása az egyenletnek. Hasonlóan látható, hogy

x

akkor sem megoldása az egyenletnek, ha

x < f (x)

.
Marad az az eset, ha

x = f (x)

, azaz

x = \sqrt[]{- 3 + 4 x}

. Ekkor négyzetre emelés és rendezés után

0 = x^{2} - 4 x + 3 = (x - 1) (x - 3)

, tehát két lehetséges gyököt kapunk:

\begin{matrix} x_{1} = 1, x_{2} = 3. \end{matrix}

Behelyettesítéssel ellenőrizhető, hogy ezek valóban megoldásai az egyenletnek.

Peták Attila (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., IV. o. t.)