Kezdőlap


Feladat:	F.2739	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balogh 171 J. , Battyányi P. , Benkő D. , Boncz A. , Csirik J. , Erdész F. , Habon Zs. , Harcos G. , Hídvégi Z. , Kis 943 Orsolya , Kocsor A. , Kőrösi A. , Kovács 113 V. , Kovács 271 Ágnes , Kovács 998 P. , Lois L. , Macskási Zs. , Nagy G. P. , Papp 613 F. , Parádi Cs. , Podoski Károly. , Schultz J. , Sustik M. , Tóth 713 G.
Füzet:	1990/január, 14 - 15. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb sokszögek hasonlósága, Sokszögek súlypontjának koordinátái, Négyszögek geometriája, Vektorok felbontása összetevőkre, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/március: F.2739

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a négyszög csúcsait $A$ , $B$ , $C$ , $D$ -vel, az oldalfelező pontokat pedig sorra $F_{1}$ , $F_{2}$ , $F_{3}$ , $F_{4}$ -gyel. A $B D$ átló a négyszöget két háromszögre bontja. Az $A B D$ háromszög súlypontja $C'$ , a $B C D$ háromszögé pedig $A'$ . A négyszöglemez $W$ súlypontja rajta lesz az $A' C'$ szakaszon. A négyszöget az $A C$ átló is két háromszögre bontja. Ezek súlypontja legyen $B'$ , illetve $D'$ . A négyszög súlypontja a $B' D'$ szakaszon is rajta lesz, ezért a $W$ pontot $A' C'$ és $B' D'$ metszéspontjaként kapjuk meg.

1. ábra

Vegyük észre ezután, hogy az

A' D'

szakasz az

A F_{2} D

háromszög

F_{2}

csúcsából kiinduló két oldal

F_{2}

-höz közelebbi harmadolópontját köti össze, ezért

\begin{matrix} A' D' párhuzamos A D -vel   és A' D' = \frac{A D}{3} . \end{matrix}

Hasonló igaz az

A' B'

B' C'

és

C' D'

szakaszokra. Tehát az

A' B' C' D'

négyszög szögei megegyeznek az

A B C D

négyszög szögeivel, és a megfelelő oldalak aránya 1:3. A megfelelő oldalak párhuzamossága miatt a két négyszög hasonló helyzetű is, ezért van hasonlósági pontjuk. A hasonlósági pontot az egymásnak megfelelő pontpárok segítségével fogjuk meghatározni. Legyen

A' D'

felezőpontja

F_{4}'

. A hasonlóságnál ez a pont

F_{4}

képe, és rajta van az

F_{2} F_{4}

szakaszon, így a hasonlóság centruma is rajta van az

F_{2} F_{4}

-en. Hasonlóan láthatjuk be, hogy a centrum rajta van az

F_{1} F_{3}

szakaszon is, tehát a hasonlóság középpontja a

V

pont.
Mivel ebben a hasonlóságban az átlók

U

metszéspontjának képe a képnégyszög átlóinak

W

metszéspontja, ezért az

U

V

W

pontok egy egyenesre esnek, és a hasonlóság aránya 1:3 lévén

W V : V U = 1 : 3

, amint azt bizonyítani kellett.
II. megoldás. Vegyünk fel egy (esetleg ferdeszögű) koordinátarendszert az

A B C D

négyszög átlóira illeszkedő tengelyekkel. Használjuk a 2. ábra jelöléseit.

2. ábra

Könnyű belátni, hogy a szakasz felezőpontjának koordinátáit, ill. a súlypont koordinátáit ferdeszögű koordináta‐rendszerben ugyanúgy számíthatjuk ki, mint derékszögűben.
Az

F_{1}

és

F_{3}

koordinátái:

\begin{matrix} F_{1} (\frac{a}{2}; \end{matrix}

mivel

F_{1}

F_{2}

F_{3}

F_{4}

paralelogramma, ezért

V

koordinátái:

\begin{matrix} V (\frac{a + c}{4}; \end{matrix}

Ezután meghatározzuk az átlók által létrehozott háromszögek súlypontját:

A B C

háromszög súlypontja:

S_{1} (\frac{a + c}{3}, \frac{b}{3})

A C D

háromszög súlypontja:

S_{2} (\frac{a + c}{3}, \frac{d}{3})

B C D

háromszög súlypontja:

S_{3} (\frac{c}{3}, \frac{b + d}{3})

D A B

háromszög súlypontja:

S_{4} (\frac{a}{3}, \frac{b + d}{3})

Könnyen látható, hogy

S_{1} S_{2}

y

S_{3} S_{4}

pedig az

x

tengellyel párhuzamos, ezért

W

koordinátái:

W (\frac{a + c}{3}, \frac{b + d}{3})

(hiszen a

W

pont az

S_{1} S_{2}

és

S_{3} S_{4}

egyenesek metszéspontja).
Tekintsük ezután a

\vec{W V}

és

\vec{V U}

vektorokat:

\begin{matrix} \vec{W V} = (- \frac{a + c}{12}; \end{matrix}

Láthatjuk, hogy

\vec{3 W V} = \vec{V U}

, ami éppen a feladat állítása.

Schultz János (Törökszentmiklós, Bercsényi M. Gimn., IV. o. t.)