|
Feladat: |
F.2738 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Benkő D. , Macskási Zsolt , Mohai Zsuzsa , Peták Attila , Podoski Károly , Stoyan Róbert , Sustik Mátyás , Szamuely Tibor , Tokodi Tamás |
Füzet: |
1989/december,
445 - 446. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Terület, felszín, Paralelogrammák, Négyszögek geometriája, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1989/március: F.2738 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Bebizonyítjuk, hogy a négyszög síkjában legfeljebb egy, a feladat feltételeinek megfelelő pont létezik. Lapunk 1989/2. számában az 50. oldaltól kezdődően megjelent a Kürschák József matematikaverseny feladatainak megoldása. Itt az 1. feladat I. megoldásában azt olvashatjuk, hogy ha a konvex négyszög belsejében van a feladat szerinti pont, akkor az egyfelől az egyik átló felezőpontja, másfelől a négyszög belsejében legfeljebb egy ilyen pont lehet. Tegyük fel ezután, hogy létezik a feltételeknek eleget tevő pont a négyszögön kívül. A pont különféle elképzelhető helyzeteit az 1., 2. és 3. ábrákon láthatjuk.
1. ábra
2. ábra
3. ábra Könnyű belátni, hogy a 2. és 3. ábra szerinti esetekkel nem kell foglalkoznunk, mivel ekkor a , , , háromszögek egyike tartalmaz egy másikat, és így annál nagyobb területű. Az 1. ábrán az egyenlő területű és háromszögek oldala közös, tehát ehhez az oldalhoz tartozó magasságuk is egyenlő. Ezért párhuzamos -vel. Hasonló okokból és is párhuzamosak. Tehát az négyszög paralelogramma, amelyben éppen tükörképe felezőpontjára. ( a négyszög átlóinak a metszéspontja.) Jelölje pl. a háromszög területét . Az előbbi észrevétel szerint , és ez a terület éppen a négyszög területének a fele. Ugyanis feltevésünk szerint olyan, hogy , és a -n kívüli három háromszög területének összege éppen -vel több a négyszög területénél. Mivel a négyszög területének a fele, az és átlók egyike se felezi a négyszög területét. Ezért ilyenkor az említett Kürschák versenyfeladat megoldása szerint a négyszög belsejében nincsen megfelelő pont, és külső pont is csak egy. A feladat kérdésére tehát azt felelhetjük, hogy legfeljebb egy megfelelő pont létezik. Fölmerülhet a kérdés, hogy létezik-e olyan konvex négyszög, amelyhez található a feladat követelményei szerinti pont, a négyszögön kívül. A figyelmes olvasó a KöMaL 1989/2. száma 51. oldalán az I. megoldás utáni 3. megjegyzésben találhat konstrukciót ilyen négyszögre. Macskási Zsolt (Bp., Apáczai Csere János Gimn. III. o. t.)
dolgozata alapján.
|
|