I.megoldás. Mivel $a$ és $b$ szerepe a feladatban teljesen szimmetrikus, feltehetjük, hogy $a\leqq b$. Ekkor $a^2-4b\leqq a^2-4a\mathrm{,}$ s mivel $a^2-4b$ négyzetszám, s így nem negatív, ezért $a^2-4a\geqq 0$ A feladat kikötése szerint $a$ pozitív, tehát $a\geqq 4$.
Tudjuk, hogy $4\leqq a\leqq b$. Ha $b=4$, akkor $a=4$, s ez megoldása is a feladatnak. Ha $b>4$, azaz $b\geqq 5$, akkor $b^2-4a$ beszorítható két közeli négyzetszám közé: $b^2>b^2-4a\geqq b^2-4b>{\left(b-3\right)}^2$ Minthogy $b^2-4a$ is négyzetszám, csak két lehetőség marad: $b^2-4a={\left(b-1\right)}^2$ vagy $b^2-4a={\left(b-2\right)}^2$. Az előbbi esetben $4a=2b-1$, itt a bal oldal páros, a jobb oldal nem, ez tehát nem fordulhat elő. Egy eset maradt még: $b^2-4a={\left(b-2\right)}^2$, ahonnan $a=b-1$. A feltétel szerint így $a^2-4b={\left(b-1\right)}^2-4b={\left(b-3\right)}^2-8$ négyzetszám. Ha $1\leqq b\leqq 5$, akkor e kifejezés értéke negatív, $b=7$ esetén pedig $8$, tehát nem négyzetszám; $b=6$ esetén viszont négyzetszám. Végül $b\geqq 8$ esetén $\left(b-3\right)$, eltérése a legközelebbi négyzetszámtól, ${\left(b-4\right)}^2$-től is $2b-7\geqq 9$, ezért ilyenkor már ${\left(b-3\right)}^2-8$ nem lehet négyzetszám. Az $a=b=4$ megoldás mellett tehát összesen még egy megoldást találtunk: $b=\mathrm{6,}a=5$, ekkor $b^2-4a=6^2-4\cdot 5=4^2$ és $a^2-4b=5^2-4\cdot 6=1$, valóban négyzetszámok. Nyilván ugyanígy megoldás ennek szimmetrikus párja, az $a=6$, $b=5$  számpár is.