Kezdőlap


Feladat:	F.2735	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Benkő Dávid , Kocsor András , Podoski Károly , Szabó 972 S.
Füzet:	1989/november, 384 - 385. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szorzat, hatványozás azonosságai, Háromszögek nevezetes tételei, Hossz, kerület, Hatványközepek közötti egyenlőtlenség, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/március: F.2735

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelöljük $k$ -val a háromszög kerületét. Ekkor

\begin{matrix} k^{2} = {(a + b + c)}^{2} = (a^{2} + b^{2} + c^{2}) + 2 (a b + b c + a c) = \\ = \frac{1}{2} {(a - b)}^{2} + \frac{1}{2} {(b - c)}^{2} + \frac{1}{2} {(c - a)}^{2} + 3 (a b + a c + b c) . \end{matrix}

a b + a c + b c = 12

feltételt is figyelembe véve kapjuk, hogy

\begin{matrix} 2 k^{2} - 72 = {(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} + {(c - a)}^{2} . \end{matrix}

(1)

Itt a jobb oldal nem negatív, tehát

k^{2} ≧ 36

k ≧ 6

, és egyenlőség csak

a = b = c

esetén áll. Másrészt

a = b = c = 2

esetén

k = 6

és

a b + b c + c a = 12

, így a kerület minimuma

6

.
A maximum meghatározásához is (1)-et fogjuk használni. A háromszög-egyenlőtlenséget írhatjuk a következő alakban is:

\begin{matrix} | a - b | ≦ c, | b - c | ≦ a és | a - c | ≦ b . \end{matrix}

(2)

Így (1) jobb oldala nem nagyobb

c^{2} + a^{2} + b^{2} = k^{2} - 2 (a b + b c + c a) = k^{2} - 24

-nél, vagyis

\begin{matrix} 2 k^{2} - 72 ≦ k^{2} - 24, k^{2} ≦ 48, k ≦ \sqrt[]{48} = 4 \sqrt[]{3} . \end{matrix}

Ezzel kaptunk egy felső becslést a kerületre. Kérdés: felveszi-e

k

ezt az értéket? Nyilván pontosan akkor veszi fel, ha (2)-ben mindenütt egyenlőség van, amihez meg kell engednünk az elfajuló háromszögeket is. Ha ezt megengedjük és feltesszük, hogy

a ≧ b ≧ c

, akkor azt kapjuk, hogy

k

a maximális

4 \sqrt[]{3}

értéket pontosan akkor veszi fel, ha

a - b = c

b - c = a

és

a - c = b

. Az első két egyenletet összeadva

c = 0

adódik, s ebből (mindhárom egyenletben)

a = b

következik. Végül az

a b + a c + b c = 12

feltétel

c = 0

a = b

mellett azt adja, hogy

a = b = 2 \sqrt[]{3}

. Azt kaptuk tehát, hogy a kerület hossza legfeljebb

4 \sqrt[]{3}

, és pontosan

4 \sqrt[]{3}

abban az elfajuló egyenlő szárú háromszögben lesz, amelynek alapja 0, két szára

2 \sqrt[]{3}

hosszú. A kerület értéke tehát 6 és

4 \sqrt[]{3}

között változik.

II. megoldás. A számtani és négyzetes közép közötti összefüggés szerint

\begin{matrix} {(\frac{k}{3})}^{2} = {(\frac{a + b + c}{3})}^{2} ≦ \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} k^{2} ≦ 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) = 3 (k^{2} - 2 (a b + b c + c a)) = 3 k^{2} - 72, \end{matrix}

és innen

k^{2} ≧ 36, k ≧ 6

. Itt egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha

a = b = c = 2

, tehát a kerület minimuma

6

.
A maximum megkereséséhez tegyük fel, hogy

a ≧ b ≧ c

. Ekkor a háromszög-egyenlőtlenség szerint

a ≦ b + c

, amit a nemnegatív

a

-val szorozva azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} a^{2} ≦ a b + a c ≦ a b + a c + b c = 12. \end{matrix}

Másrészt

b ≧ c ≧ 0

miatt

c^{2} ≦ b c

és

a ≧ b ≧ 0

miatt

b^{2} ≦ a b

, tehát

\begin{matrix} b^{2} + c^{2} ≦ a b + b c ≦ a b + a c + b c = 12. \end{matrix}

A két egyenlőséget összeadva

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} ≦ 24, \end{matrix}

vagyis

k^{2} - 2 (a b + a c + b c) ≦ 24

k^{2} - 24 ≦ 24

k^{2} ≦ 48

. Ha végignézzük, hogy milyen feltétellel áll egyenlőség az összeadott két egyenlőtlenségben, ismét könnyen láthatjuk, hogy csak

c = 0

b = a

esetén.

Megjegyzés. Be lehet látni, hogy a kerület hossza

6

és

4 \sqrt[]{3}

között bármely értéket felvesz, és a

4 \sqrt[]{3}

kivételével minden értéket felvesz nem elfajuló háromszögben is.