|
Feladat: |
F.2733 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Benkő D. , Bíró N. , Botrágyi T. , Gránicz J. , Hídvégi Z. , Lázár Zs. , Lázár Zsolt , Megyeri G. , Mezei J. , Peták A. , Podoski Károly. , Polczer I. , Révész Gabriella , Siklér F. , Sustik M. , Szekeres B. , Tokodi T. , Tóth 509 P. , Tóth 713 G. , Tuba I. , Újváry-Menyhárt Zoltán , Weisz Cs. |
Füzet: |
1989/november,
382 - 384. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Két pont távolsága, szakasz hosszúsága, Egyenesek egyenlete, Pont és egyenes távolsága, Tetraéderek, Szabályos sokszögek geometriája, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1989/február: F.2733 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Helyezzük el a tetraédert az ábrán látható módon egy térbeli derékszögű koordinátarendszerben. Használjuk az ábra jelöléseit.
Az élhosszak ismeretében:
Ennek az egyenletrendszernek a megoldása: Így ismerjük a pont koordinátáit is, és föl tudjuk írni a vektort: | | (2) |
A egyenes irányvektora és pontja segítségével az egyenes paraméteres egyenletrendszere:
Feladatunk a és egyenesek távolságának meghatározása. Ez ábránkon az szakasz hossza. Mivel merőleges az tengelyre, párhuzamos az síkkal, ezért erre a síkra eső vetülete, , ugyanolyan hosszúságú mint . A és által bezárt derékszög vetülete is derékszög, hiszen e derékszög egyik szára párhuzamos a vetület síkjával. Ezért a keresett távolság úgy is meghatározható, hogy fölírjuk az síkban a egyenes egyenletét, és kiszámítjuk az egyenes és az origó távolságát. A (3) egyenletrendszerből , így egyenlete: Most fölhasználjuk a pont és egyenes távolságára vonatkozó ismert képletet. Ez a szokásos jelölésekkel a következő. Az egyenes és a pont távolsága: Esetünkben az egyenes egyenlete a (4) egyenlet, a pont pedig a (0; 0); így a keresett távolság: | |
Lázár Zsolt (Kaposvár, Táncsics M. Gimn., III. o. t.) |
|