Kezdőlap


Feladat:	F.2733	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Benkő D. , Bíró N. , Botrágyi T. , Gránicz J. , Hídvégi Z. , Lázár Zs. , Lázár Zsolt , Megyeri G. , Mezei J. , Peták A. , Podoski Károly. , Polczer I. , Révész Gabriella , Siklér F. , Sustik M. , Szekeres B. , Tokodi T. , Tóth 509 P. , Tóth 713 G. , Tuba I. , Újváry-Menyhárt Zoltán , Weisz Cs.
Füzet:	1989/november, 382 - 384. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Két pont távolsága, szakasz hosszúsága, Egyenesek egyenlete, Pont és egyenes távolsága, Tetraéderek, Szabályos sokszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/február: F.2733

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Helyezzük el a tetraédert az ábrán látható módon egy térbeli derékszögű koordinátarendszerben. Használjuk az ábra jelöléseit.

Az élhosszak ismeretében:

\begin{matrix} u^{2} + v^{2} + w^{2} = 4^{2} \\ {(3 - u)}^{2} + v^{2} + {(3 \sqrt[]{3} - w)}^{2} = 3^{2} & (1) \\ {(6 - u)}^{2} + v^{2} + w^{2} = 5^{2} . \end{matrix}

Ennek az egyenletrendszernek a megoldása:

\begin{matrix} u = \frac{9}{4}; v = \sqrt[]{\frac{311}{108}}; w = \frac{59 \sqrt[]{3}}{36} . \end{matrix}

Így ismerjük a

B

pont koordinátáit is, és föl tudjuk írni a

\vec{D B}

vektort:

\begin{matrix} \vec{D B} = (- \frac{3}{4}; \end{matrix}

(2)

B D

egyenes irányvektora és

D

pontja segítségével az egyenes paraméteres egyenletrendszere:

\begin{matrix} x & = 3 - \frac{3}{4} t, \\ y & = \sqrt[]{\frac{311}{108}} t, & (3) \\ z & = 3 \sqrt[]{3} - \frac{49 \sqrt[]{3}}{36} t . \end{matrix}

Feladatunk a

B D

és

A C

egyenesek távolságának meghatározása. Ez ábránkon az

E F

szakasz hossza. Mivel

E F

merőleges az

x

tengelyre, párhuzamos az

(y;