Kezdőlap


Feladat:	F.2731	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Antos A. , Aranyi F. , Balogh 171 J. , Bencsik Z. , Benczúr P. , Benkő D. , Bíró N. , Boda Z. , Botrágyi T. , Csapodi M. , Danyó T. , Erős Krisztina , Farkas T. , Fischer E. , Fodor Gy. , Gutai Zs. , Harcos G. , Hausel T. , Hídvégi Z. , Kaska Z. , Kocsor A. , Macskási Zs. , Máté Nóra , Mezei J. , Parádi Cs. , Podoski Károly. , Polczer I. , Pusztai T. , Révész Gabriella , Siklér F. , Siteri N. , Stoyan R. , Sustik M. , Szalkai Á. , Szekeres B. , Tokodi T. , Tornyi L. , Tóth 509 P. , Tóth 702 P. , Tóth 713 G. , Varga 123 A. , Varga N.
Füzet:	1990/január, 12 - 13. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Hossz, kerület, Terület, felszín, Négyszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/február: F.2731

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Használjuk az 1. ábrán látható jelöléseket. A feladat első feltétele szerint $a + e + c ≦ 2$ , azaz

\begin{matrix} a + c ≦ 2 - e . \end{matrix}

(1)

1. ábra

Nyilván fönnáll továbbá

\begin{matrix} m_{1} ≦ a és m^{2} ≦ c . \end{matrix}

(2)

A négyszög területe

\frac{1}{2}

lévén,

\begin{matrix} e (m_{1} + m_{2}) = 1. \end{matrix}

(3)

A (2)-beli egyenlőtlenségek összegét (1)-gyel összekapcsolva

\begin{matrix} m_{1} + m_{2} ≦ a + c ≦ 2 - e, \end{matrix}

így (3) szerint

\begin{matrix} 1 = e (m_{1} + m_{2}) ≦ e (a + c) ≦ e (2 - e), \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} 1 ≦ e (2 - e), {(e - 1)}^{2} ≦ 0. \end{matrix}

2. ábra

Ez csak egyenlőségként lehetséges, vagyis

e = 1

. Ekkor azonban (2)-ben és (1)-ben is egyenlőségnek kell állnia, így

m_{1} = a, m_{2} = c

és

a + c = 2 - e = 1

, valamint

α = γ = 90^{\circ}

. A 2. ábra alapján tehát

\begin{matrix} A C^{2} & = {(a + c)}^{2} + e^{2} = 2, \\ A C & = \sqrt[]{2} . \end{matrix}