Feladat: F.2727 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Antos A. ,  Balogh 171 J. ,  Benczúr P. ,  Benkő D. ,  Botrágyi Tibor ,  Eiben P. ,  Gutai Zs. ,  Harcos G. ,  Hídvégi Z. ,  Kocsor A. ,  Kondacs A. ,  Lois L. ,  Máté Nóra ,  Nagy 124 G. ,  Oláh G. ,  Papp 613 F. ,  Podoski Károly ,  Sági G. ,  Stoyan R. ,  Szabó 393 T. ,  Szegedy K. ,  Szekeres B. ,  Tokodi T. ,  Varga M. ,  Weisz Cs. 
Füzet: 1989/november, 375 - 376. oldal  PDF file
Témakör(ök): Poliéderek egybevágósága, Geometriai egyenlőtlenségek, Euler-formula, Szabályos sokszög alapú gúlák, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1989/január: F.2727

Egy konvex poliéder csúcsainak száma n. Legfeljebb hány éle lehet a poliédernek?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismeretes, hogy ha egy konvex poliéder csúcsainak, lapjainak, illetve éleinek száma rendre c, l, e, akkor

c+l=e+2.(1)
(Ez Euler poliédertétele, bizonyítása megtalálható pl. a fakultatív B tantervű gimnáziumi IV. osztályos matematika tankönyvben.) Legyen a poliéder háromszög-lapjainak száma l3, négyszög- lapjainak száma l4 és így tovább. Mivel minden él pontosan két lapra illeszkedik, ezért
2e=3l3+4l4+5l5+...3l3+3l4+3l5+...=3l,
így
2e3l.(2)
Esetünkben c=n, ezért (1) és (2) alapján
n+2e3e+2,amelyből3n-6e.



Ez azt jelenti, hogy az élek száma legfeljebb 3n-6 lehet.
Könnyen belátható, hogy létezik 3n-6 élű konvex poliéder. Tekintsünk ugyanis két olyan szabályos gúlát, amelyek egybevágóak, és alaplapjuk n-2 oldalú konvex sokszög. A két gúlát alaplapjával összeillesztve olyan n csúcsú konvex poliédert kapunk, amelynek 3n-6 éle van.
 

 Podoski Károly (Bp., Árpád Gimn., III. o. t.)
 dolgozata alapján