|
Feladat: |
F.2727 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: könnyű |
Megoldó(k): |
Antos A. , Balogh 171 J. , Benczúr P. , Benkő D. , Botrágyi Tibor , Eiben P. , Gutai Zs. , Harcos G. , Hídvégi Z. , Kocsor A. , Kondacs A. , Lois L. , Máté Nóra , Nagy 124 G. , Oláh G. , Papp 613 F. , Podoski Károly , Sági G. , Stoyan R. , Szabó 393 T. , Szegedy K. , Szekeres B. , Tokodi T. , Varga M. , Weisz Cs. |
Füzet: |
1989/november,
375 - 376. oldal |
PDF file |
Témakör(ök): |
Poliéderek egybevágósága, Geometriai egyenlőtlenségek, Euler-formula, Szabályos sokszög alapú gúlák, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1989/január: F.2727 |
|
Egy konvex poliéder csúcsainak száma . Legfeljebb hány éle lehet a poliédernek?
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Ismeretes, hogy ha egy konvex poliéder csúcsainak, lapjainak, illetve éleinek száma rendre , , , akkor (Ez Euler poliédertétele, bizonyítása megtalálható pl. a fakultatív B tantervű gimnáziumi IV. osztályos matematika tankönyvben.) Legyen a poliéder háromszög-lapjainak száma , négyszög- lapjainak száma és így tovább. Mivel minden él pontosan két lapra illeszkedik, ezért | | így Esetünkben , ezért (1) és (2) alapján
Ez azt jelenti, hogy az élek száma legfeljebb lehet. Könnyen belátható, hogy létezik élű konvex poliéder. Tekintsünk ugyanis két olyan szabályos gúlát, amelyek egybevágóak, és alaplapjuk oldalú konvex sokszög. A két gúlát alaplapjával összeillesztve olyan csúcsú konvex poliédert kapunk, amelynek éle van.
Podoski Károly (Bp., Árpád Gimn., III. o. t.) dolgozata alapján
|
|