Kezdőlap


Feladat:	F.2727	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Antos A. , Balogh 171 J. , Benczúr P. , Benkő D. , Botrágyi Tibor , Eiben P. , Gutai Zs. , Harcos G. , Hídvégi Z. , Kocsor A. , Kondacs A. , Lois L. , Máté Nóra , Nagy 124 G. , Oláh G. , Papp 613 F. , Podoski Károly , Sági G. , Stoyan R. , Szabó 393 T. , Szegedy K. , Szekeres B. , Tokodi T. , Varga M. , Weisz Cs.
Füzet:	1989/november, 375 - 376. oldal		PDF file
Témakör(ök):	Poliéderek egybevágósága, Geometriai egyenlőtlenségek, Euler-formula, Szabályos sokszög alapú gúlák, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/január: F.2727

Egy konvex poliéder csúcsainak száma

n

. Legfeljebb hány éle lehet a poliédernek?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismeretes, hogy ha egy konvex poliéder csúcsainak, lapjainak, illetve éleinek száma rendre $c$ , $l$ , $e$ , akkor

\begin{matrix} c + l = e + 2. \end{matrix}

(1)

(Ez Euler poliédertétele, bizonyítása megtalálható pl. a fakultatív B tantervű gimnáziumi IV. osztályos matematika tankönyvben.) Legyen a poliéder háromszög-lapjainak száma

l_{3}

, négyszög- lapjainak száma

l_{4}

és így tovább. Mivel minden él pontosan két lapra illeszkedik, ezért

\begin{matrix} 2 e = 3 l_{3} + 4 l_{4} + 5 l_{5} + ... ≧ 3 l_{3} + 3 l_{4} + 3 l_{5} + ... = 3 l, \end{matrix}

így

\begin{matrix} 2 e ≧ 3 l . \end{matrix}

(2)

Esetünkben

c = n

, ezért (1) és (2) alapján

\begin{matrix} n + \frac{2 e}{3} ≧ e + 2, amelyből \\ 3 n - 6 ≧ e . \end{matrix}

Ez azt jelenti, hogy az élek száma legfeljebb

3 n - 6

lehet.
Könnyen belátható, hogy létezik

3 n - 6

élű konvex poliéder. Tekintsünk ugyanis két olyan szabályos gúlát, amelyek egybevágóak, és alaplapjuk

n - 2

oldalú konvex sokszög. A két gúlát alaplapjával összeillesztve olyan

n

csúcsú konvex poliédert kapunk, amelynek

3 n - 6

éle van.

Podoski Károly (Bp., Árpád Gimn., III. o. t.)
dolgozata alapján