Kezdőlap


Feladat:	F.2725	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1989/november, 375. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Terület, felszín, Koszinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/január: F.2725

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a háromszög oldalait és szögeit a szokásos módon és tegyük fel, hogy az $a$ oldal fölé szerkesztettük a négyzetet, $b$ fölé a szabályos háromszöget, a $c$ oldal fölé a félkört.
A feladat feltételei alapján

\begin{matrix} a^{2} = \frac{b^{2} \cdot \sqrt[]{3}}{4} = \frac{c^{2} \cdot π}{8}, amelyekből \\ b = \frac{2 a}{\sqrt[4]{3}}, c = \frac{2 a \sqrt[]{2}}{\sqrt[]{π}} . \end{matrix}

A koszinusztétel szerint

\begin{matrix} cos α = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}, \end{matrix}

b

és

c

előbbi kifejezését helyettesítve

\begin{matrix} cos α & = \frac{\frac{4 a^{2}}{\sqrt[]{3}} + \frac{8 a^{2}}{π} - a^{2}}{2 \cdot \frac{2 a}{\sqrt[4]{3}} \cdot \frac{2 a \sqrt[]{2}}{\sqrt[]{π}}} = 0,7950, és így \\ α & = 37, 34^{\circ} . \end{matrix}

Ugyanígy kapjuk, hogy

\begin{matrix} cos β & = \frac{a^{2} + \frac{8 a^{2}}{π} - \frac{4 a^{2}}{\sqrt[]{3}}}{2 a \cdot \frac{2 a \sqrt[]{2}}{\sqrt[]{π}}} = 0, 3876, \\ β & = 67, 19^{\circ} . \end{matrix}

Végül

γ = 180^{\circ} - (α + β) = 75, 47^{\circ}