Kezdőlap


Feladat:	F.2723	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Balogh J. , Benczúr P. , Bíró N. , Botrágyi T. , Elbert Judit , Erdész F. , Harcos G. , Kocsor A. , Kónya I. , Kovács 988 P. , Körösi A. , Lázár Z. , Macskási Zs. , Miczki E. , Nagy 124 G. , Nagy G. P. , Parádi Cs. , Pataki G. , Podoski Károly. , Polczer I. , Révész Gabriella , Sági Z. , Schultz J. , Siklér F. , Szabó 972 S. , Szamuely T. , Szekeres B. , Tóth 509 P. Z. , Tóth 702 P. , Tuba I. , Varga N. , Weisz Cs. , Wekszli Mária
Füzet:	1989/október, 301 - 302. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/január: F.2723

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A második és harmadik egyenlet összegéből vonjuk ki az első egyenletet, a harmadik egyenletből pedig a másodikat:

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 25, & (1) \\ 4 z^{2} - 2 z (x + y) = 72, & (2) \\ (y^{2} - x^{2}) + 2 z (x - y) = 7. & (3) \end{matrix}

Ez az egyenletrendszer az eredetivel ekvivalens, hiszen (1) az eredeti első egyenlet, az (1), (2) és (3) egyenletek összege az eredeti utolsó egyenlet kétszerese, amelynek feléből (3)-at kivonva éppen az eredeti második egyenletet kapjuk vissza. Legyen

a = x + y

és

b = x - y

; ezzel

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} = 50, & (1) \\ 2 z^{2} - a z = 36, & (2) \\ - a b + 2 b z = 7. & (3) \end{matrix}

A (2)-ből kifejezzük

a

-t, majd ennek felhasználásával a (3)-ból

b

-t:

\begin{matrix} a = \frac{2 z^{2} - 36}{z}, & (2A) \\ b = \frac{7}{2 z - a} = \frac{7}{2 z - \frac{2 z^{2} - 36}{z}} = \frac{7 z}{36} . & (2B) \end{matrix}

(Továbbra is ekvivalens átalakításokat végeztünk, hiszen (2A)-ból és (2B)-ből visszakapható (3).) Az

a

-ra és

b

-re kapott kifejezéseket (1)-be helyettesítve

z^{2}

-re másodfokú egyenletet kapunk:

\begin{matrix} {(\frac{2 z^{2} - 36}{z})}^{2} + {(\frac{7 z}{36})}^{2} = 50, \\ 5233 z^{4} - (4 \cdot 36^{3} + 50 \cdot 36^{2}) z^{2} + 36^{4} = 0, \\ z^{2} = \frac{6^{4}}{5233} (97 \pm 12 \sqrt[]{29}) . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} z = 36 e \sqrt[]{\frac{97 + 12 f \sqrt[]{29}}{5233}}, \end{matrix}

ahol

e

és

f

egymástól függetlenül a

+ 1

és

- 1

értékeket vehetik fel. Az

a

és

b

ezután (2A)-ból és (2B)-ből számolható ki:

\begin{matrix} a = 2 z - \frac{36}{z} = 72 e \sqrt[]{\frac{97 + 12 f \sqrt[]{29}}{5233}} - e \sqrt[]{\frac{5233}{97 + 12 f \sqrt[]{29}}}, \\ b = \frac{7}{36} z = 7 e \sqrt[]{\frac{97 + 12 f \sqrt[]{29}}{5233}}, \\ x = \frac{1}{2} (a + b) = \frac{79 e}{2} \sqrt[]{\frac{97 + 12 f \sqrt[]{29}}{5233}} - \frac{e}{2} \sqrt[]{\frac{5233}{97 + 12 f \sqrt[]{29}}}, \\ y = \frac{1}{2} (a - b) = \frac{65 e}{2} \sqrt[]{\frac{97 + 12 f \sqrt[]{29}}{5233}} - \frac{e}{2} \sqrt[]{\frac{5233}{97 + 12 f \sqrt[]{29}}} . \end{matrix}