Kezdőlap


Feladat:	F.2714	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bíró N. , Boncz A. , Darabos B. , Elbert J. , Gausz J. , Klement P. , Kovács T. , Macskási Zs. , Márkus M. , Maróti O. , Máté N. , Mekis A. , Mohai Zs. , Nagy 124 G. , Polczer I. , Révész G. , Sági Z. , Siklér F. , Stoyan R. , Szilágyi B. , Temesvári A. , Váradi T. , Varga M. , Várvízi Zs. , Zsótér E.
Füzet:	1989/április, 160 - 161. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai bizonyítások, Háromszögek hasonlósága, Körülírt kör, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/november: F.2714

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen először $P$ a $B C$ szakasz belső pontja (1. ábra). Az $A P$ szakasz a két körülírt kör közös húrja, ezért $O_{1} O_{2}$ az $A P$ felező merőlegese.

1. ábra

Az egy íven nyugvó kerületi- és középponti szögekre vonatkozó összefüggés alapján

\begin{matrix} A O_{1} P ∢ = 2 β, \end{matrix}

ahol

β

A B C

háromszög

B

csúcsnál lévő szöge. Ezért

A O_{1} O_{2} ∢ = β

.
Hasonlóan láthatjuk, hogy

A O_{2} O_{1} ∢ = γ

, tehát az

A O_{1} O_{2}

háromszög valóban hasonló az

A B C

háromszöghöz.

2. ábra

Legyen ezután

P

B C

szakaszon kívül (2. ábra). Az ábra segítségével könnyen látható, hogy most

\begin{matrix} A O_{1} P ∢ = 2 (180^{\circ} - β), \end{matrix}

így ezúttal is

\begin{matrix} A O_{1} O_{2} ∢ = 180^{\circ} - \frac{1}{2} A O_{1} P ∢ = 180^{\circ} - (180^{\circ} - β) = β . \end{matrix}

Kovács Tamás (Bp. I. István Gimn., IV. o. t.)
dolgozata alapján