Kezdőlap


Feladat:	F.2706	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1989/április, 157 - 158. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Racionális számok és tulajdonságaik, Algebrai átalakítások, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/október: F.2706

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $\frac{a}{b}$ és $\frac{c}{d}$ a két tört, ahol $a + c = 1000 = b + d$ ; feltehetjük, hogy például $b \geq d$ . Mivel

\begin{matrix} (\frac{1}{b} + \frac{999}{d}) - (\frac{a}{b} + \frac{c}{d}) = \frac{999 - c}{d} + \frac{1 - a}{b} = (999 - c) (\frac{1}{d} - \frac{1}{b}) \geq 0, \end{matrix}

valamint

\begin{matrix} (\frac{a}{b} + \frac{c}{d}) - (\frac{999}{b} + \frac{1}{d}) = \frac{c - 1}{d} + \frac{a - 999}{b} = (c - 1) (\frac{1}{d} - \frac{1}{b}) \geq 0, \end{matrix}

ezért a két tört összege akkor a legnagyobb, ill. a legkisebb, ha valamelyik tört számlálója 1.
Ha

a = 1

és

d = 1

, akkor az összeg

\frac{1}{999} + 999 > 999

, míg

a = 1 < d

esetén:

\frac{1}{b} + \frac{999}{d} \leq 1 + \frac{999}{2} < 501

.
Az összeg maximális értéke tehát

999 + \frac{1}{999}

, és ez csak

a = d = 1, b = c = 999

mellett lép fel.
Az összeg legkisebb értéke megegyezik

f (d) = \frac{999}{1000 - d} + \frac{1}{d}

minimumával

(d = 1, 2, ..., 500)

. Megmutatjuk, hogy ez éppen

f (31) = \frac{999}{969} + \frac{1}{31}

, sőt

\begin{matrix} f (500) > f (499) > ... > f (32) > f (31), \end{matrix}

és

\begin{matrix} f (1) > f (2) > ... > f (30) > f (31) . \end{matrix}

Képezzük ugyanis

f

helyettesítési értékeit két szomszédos egész helyen:

\begin{matrix} f (d) - f (d - 1) = & (\frac{999}{1000 - d} + \frac{1}{d}) - (\frac{999}{1001 - d} + \frac{1}{d - 1}) = \\ = \frac{999}{(1000 - d) (1001 - d)} - \frac{1}{d (d - 1)} = \\ = \frac{998 d^{2} + 1002 d - 1 001 000}{(1000 - d) (1001 - d) d (d - 1)} . \end{matrix}

A kapott hányados ,,nevezője'' pozitív. Mivel a

g (x) = 998 x^{2} + 1002 x - 1 001 000

másodfokú függvény egyik gyöke negatív, a másik pedig

31

és

32

között helyezkedik el, ezért az

f (d) - f (d - 1)

különbség

d \geq 32

esetén pozitív,

d = 2, 3, ..., 31

-re pedig negatív.
A két tört összegének legkisebb értéke tehát

\frac{999}{969} + \frac{1}{31}

, és ez csak

c = 1, d = 31

-re lép fel.