Kezdőlap


Feladat:	F.2705	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balogh 171 J. , Mezei J. , Peták A.
Füzet:	1989/április, 157. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Számsorozatok, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/október: F.2705

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $n$ -re vonatkozó teljes indukcióval belátjuk, hogy $a_{n}$ minden $n$ természetes számra egész; $a_{0} = 0, a_{1} = 1, a_{2} = 4, a_{3} = 15$ és $a_{4} = 56$ (ez utóbbi érték a feladat szövegében sajtóhibával jelent meg). Megmutatjuk, hogy ha $a_{n}$ és $a_{n - 1}$ egész, akkor $a_{n + 1}$ is egész. Ehhez nyilván azt kell igazolnunk, hogy $\sqrt[]{3 a_{n}^{2} + 1}$ egész szám, vagyis $3 a_{n}^{2} + 1$ egy egész szám négyzete. Emeljük négyzetre az $a_{n}$ értékét meghatározó

\begin{matrix} a_{n} - 2 a_{n - 1} = \sqrt[]{3 a_{n - 1}^{2} + 1} \end{matrix}

összefüggést:

\begin{matrix} a_{n}^{2} - 4 a_{n - 1} a_{n} + 4 a_{n - 1}^{2} = 3 a_{n - 1}^{2} + 1. \end{matrix}

Ha mindkét oldalhoz hozzáadunk

3 a_{n}^{2} - 3 a_{n - 1}^{2}

-et, akkor a jobb oldalon éppen

3 a_{n}^{2} + 1

, a bal oldalon pedig

\begin{matrix} 4 a_{n}^{2} - 4 a_{n - 1} a_{n} + a_{n - 1}^{2} = {(2 a_{n} - a_{n - 1})}^{2} \end{matrix}

áll, tehát

3 a_{n}^{2} + 1

valóban négyzetszám.

Megjegyzés. A bizonyításból az is kiderült, hogy

a_{n + 1} = 2 a_{n} + | 2 a_{n} - a_{n - 1} |

. Mivel

2 a_{n} = 4 a_{n - 1} + 2 \sqrt[]{3 a_{n - 1}^{2} + 1} > a_{n - 1}

, ezért

\begin{matrix} a_{n + 1} = 4 a_{n} - a_{n - 1} . \end{matrix}

α

és

β

a fenti rekurzió ún. ,,karakterisztikus egyenletének'', az

x^{2} = 4 x - 1

egyenletnek a két gyöke, akkor a

b_{n} = α^{n}

és a

c_{n} = β^{n}

sorozatok kielégítik a fenti rekurziót, sőt, tetszőlegesen rögzített

p

és

q

számok mellett ilyen tulajdonságú lesz az

a'_{n} = p α^{n} + q β^{n}

sorozat is. Valóban,

α^{2} = 4 α - 1

és

β^{2} = 4 β - 1

felhasználásával

\begin{matrix} a'_{n + 1} & = p α^{n + 1} + q β^{n + 1} = p α^{n - 1} α^{2} + q β^{n - 1} β^{2} = \\ = p α^{n - 1} (4 α - 1) + q β^{n - 1} (4 β - 1) = \\ = 4 (p α^{n} + q β^{n}) - (p α^{n - 1} + q β^{n - 1}) = 4 a'_{n} - a'_{n - 1} . \end{matrix}

p

és

q

értékét

\frac{1}{2 \sqrt[]{3}}

-nak, ill.

- \frac{1}{2 \sqrt[]{3}}

-nak választjuk, akkor

(α = 2 + \sqrt[]{3}

és

β = 2 - \sqrt[]{3}

szerint)

a'_{0} = 0 = a_{0}, a'_{1} = 1 \equiv a_{1}

. Ez azt jelenti, hogy

\begin{matrix} a_{n} = a'_{n} = \frac{1}{2 \sqrt[]{3}} ({(2 + \sqrt[]{3})}^{n} - {(2 - \sqrt[]{3})}^{n}) . \end{matrix}

A hatványozásokat a binomiális tétel segítségével végezve könnyen látható, hogy

a_{n}

egész.