Kezdőlap


Feladat:	F.2704	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1989/április, 156. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Összefüggések binomiális együtthatókra, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/október: F.2704

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladatban szereplő helyett egy általánosabb összeget számítunk ki; megmutatjuk, hogy $n \geq 3$ esetén

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} (\binom{n}{i}) i^{2} {(- 1)}^{i} = 0. \end{matrix}

Alakítsuk át az összegzésben álló kifejezést az ismert

\begin{matrix} i (\binom{n}{i}) = n (\binom{n - 1}{i - 1}) (n ≧ i ≧ 1) \end{matrix}

(1)

összefüggés alapján; ekkor az összeadandókban

i

,,foka'' csökken:

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} (\binom{n}{i}) i^{2} {(- 1)}^{i} = n \sum_{i = 1}^{n} (\binom{n - 1}{i - 1}) i {(- 1)}^{i} = & (2) \\ = n \sum_{i - 1 = 0}^{n - 1} (\binom{n - 1}{i - 1}) (i - 1 + 1) {(- 1)}^{i - 1 + 1} = \\ = - n \sum_{i - 1 = 0}^{n - 1} (\binom{n - 1}{i - 1}) (i - 1) {(- 1)}^{i - 1} - n \sum_{i - 1 = 0}^{n - 1} (\binom{n - 1}{i - 1}) {(- 1)}^{i - 1} . \end{matrix}

Itt az utolsó összeg

{(1 + (- 1))}^{n - 1}

-nek a binomiális tétel szerinti kifejtése, ezért az értéke nulla, ha

n \geq 2

. Az első összegnél vezessük be az

i - 1 = k

jelölést, alkalmazzuk ismét (1)-et

k \geq 1

-re (a

k = 0

értékhez tartozó tag nulla, így elhagyható). Ekkor

\begin{matrix} \sum_{i - 1 = 0}^{n - 1} (\binom{n - 1}{i - 1}) (i - 1) {(- 1)}^{i - 1} = \sum_{k = 0}^{n - 1} (\binom{n - 1}{k}) k {(- 1)}^{k} = (n - 1) \sum_{k = 1}^{n - 1} (\binom{n - 2}{k - 1}) {(- 1)}^{k} = \\ = - (n - 1) \sum_{k - 1 = 0}^{n - 2} (\binom{n - 2}{k - 1}) {(- 1)}^{k - 1} = - (n - 1) {(1 + (- 1))}^{n - 2} = 0, \end{matrix}

n \geq 3

. Ezzel beláttuk, hogy

n \geq 3

esetén a (2)-ben kapott mindkét összeg nulla, tehát a feladatban szereplő összeg értéke is nulla.

Megjegyzés: Hasonlóan igazolható, hogy

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} (\binom{n}{i}) i^{k} {(- 1)}^{i} = 0, \end{matrix}

n \geq k + 1