Kezdőlap


Feladat:	F.2703	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1989/március, 109 - 110. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Térfogat, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Tetraéderek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/szeptember: F.2703

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$A B C$ és $D C B$ egybevágó egyenlő szárú háromszögek, hiszen $B C$ alapjuk közös, száraik pedig egységnyi hosszúak. Ezért egyenlő a két háromszög $C B$ oldalhoz tartozó magassága is, jelöljük ezt $m$ -mel, a $C B$ oldalt pedig $x$ -szel. Legyen a tetraéder alaplapja a $D B C$ háromszög, ennek az $A B C$ lappal bezárt szöge pedig $α$ .

A tetraéder térfogata

\begin{matrix} V = \frac{x \cdot m^{2} \cdot sin α}{6} = \frac{x (1 - x^{2} / 4) sin α}{6}, \end{matrix}

(1)

ahol figyelembe vettük, hogy

m^{2} = 1 - \frac{x^{2}}{4}

.
Világos, hogy

0 < x < 2

, és itt rögzített

x

esetén

V

akkor a legnagyobb, ha

α = \frac{π}{2}

. Ezért azt kell még megállapítanunk, hogy

\begin{matrix} V = \frac{x}{6} - \frac{x^{3}}{24} \end{matrix}

(2)

milyen

x

-re maximális.
A számtani és mértani középre vonatkozó egyenlőtlenség szerint

\begin{matrix} 18 V^{2} = x^{2} / 2 (1 - x^{2} / 4) (1 - x^{2} / 4) ≦ {(\frac{x^{2} / 2 + 2 (1 - x^{2} / 4)}{3})}^{3} = {(\frac{2}{3})}^{3}, \end{matrix}

(3)

így a tetraéder térfogata legfeljebb

\frac{2 \sqrt[]{3}}{27}

. Ez a maximum akkor lép fel, ha (3)-ban egyenlőség áll fenn, azaz ha

\frac{x^{2}}{2} = 1 - \frac{x^{2}}{4}

, vagyis

x = \frac{2 \sqrt[]{3}}{3}

. (A

0 < x < 2

feltételt ez kielégíti.)
(1)-ből láthatjuk: a tetraéder térfogata minden

0

és

\frac{2 \sqrt[]{3}}{27}

közötti értéket felvehet, hiszen

sin α

α

-nak folytonos függvénye. Az

α = 0

esetben persze a tetraéder elfajult lesz, és ekkor

V = 0