|
Feladat: |
F.2702 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Antos A. , Balogh 171 J. , Bíró Norbert , Borsodi G. , Danyó T. , Erdész F. , Farkas T. , Gausz J. , Horváth I. , Kocsor A. , Kovács V. , Lancsa H. , Mag Gy. , Mezei J. , Nagy G. , Németh E. , Nyáry Zs. , Papp B. , Parádi Cs. , Pataki G. , Podoski Károly , Szabó D. , Szamuely T. , Szegő L. , Szemerédi F. , Takách G. , Tokodi T. , Tóth 509 P. , Tóth 702 P. , Török J. , Újváry-Menyhárt Zoltán , Zircher P. , Zsótér E. |
Füzet: |
1989/március,
108 - 109. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek hasonlósága, Tengelyes tükrözés, Húrnégyszögek, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1988/szeptember: F.2702 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyenek az adott háromszög szögei , , , ahol . Rajzoljuk meg ‐ egyelőre csak az egyenes egyik félsíkjában ‐ azokat a háromszögeket, amelyeknek egyik oldala , és hasonlóak az adott háromszöghöz. Így hat háromszöget kapunk, amelyek közül kettő-kettő szimmetrikus felező merőlegesére. Jelöljük -gyel és -vel annak a két háromszögnek az -vel szemközti csúcsát, amelyekben az -vel szemközti szög . Hasonlóan a ill. , szögekhez tartozó csúcsok legyenek és , illetve és (lásd. az ábrát).
Azt állítjuk, hogy ez a hat pont egy körön fekszik. Ehhez elegendő megmutatni, hogy húrnégyszög. Ekkor ugyanis a húrnégyszög köré írható kör középpontja rajta lesz felező merőlegesén, ami megegyezik felező merőlegesével; ezért és, tükörképe, és is a körön van. Azt, hogy az négyszög húrnégyszög, a következőképpen láthatjuk be. A szög váltószöge a csúcsnál lévő szögnek, ezért a négyszögben a csúcsnál lévő szög . A szemközti csúcsnál lévő szög , ezért a négyszög két szemközti szögének összege , így az húrnégyszög. Az egyenes által meghatározott másik félsíkban található hat háromszög az előbbiek tükörképe az egyenesre. Az egyenesre nem illeszkedő csúcsok tehát két, -re szimmetrikus körön helyezkednek el. Ha az adott háromszög egyenlő szárú, mindkét félsíkban három különböző, nem egy egyenesre eső pont lesz, amelyek ugyancsak egy-egy körön helyezkednek el. Speciálisan, ha az adott háromszög szabályos, akkor az egyenesre nem illeszkedő csúcsok mindkét félsíkban egy-egy pontba esnek (tehát egy pontkörön lesznek).
Bíró Norbert (Székesfehérvár, Teleki B. Gimn., III. o. t.) dolgozata alapján |
|