Feladat: F.2702 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Antos A. ,  Balogh 171 J. ,  Bíró Norbert ,  Borsodi G. ,  Danyó T. ,  Erdész F. ,  Farkas T. ,  Gausz J. ,  Horváth I. ,  Kocsor A. ,  Kovács V. ,  Lancsa H. ,  Mag Gy. ,  Mezei J. ,  Nagy G. ,  Németh E. ,  Nyáry Zs. ,  Papp B. ,  Parádi Cs. ,  Pataki G. ,  Podoski Károly ,  Szabó D. ,  Szamuely T. ,  Szegő L. ,  Szemerédi F. ,  Takách G. ,  Tokodi T. ,  Tóth 509 P. ,  Tóth 702 P. ,  Török J. ,  Újváry-Menyhárt Zoltán ,  Zircher P. ,  Zsótér E. 
Füzet: 1989/március, 108 - 109. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Háromszögek hasonlósága, Tengelyes tükrözés, Húrnégyszögek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1988/szeptember: F.2702

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek az adott háromszög szögei α, β, γ, ahol α≥β≥γ. Rajzoljuk meg ‐ egyelőre csak az AB egyenes egyik félsíkjában ‐ azokat a háromszögeket, amelyeknek egyik oldala AB, és hasonlóak az adott háromszöghöz. Így hat háromszöget kapunk, amelyek közül kettő-kettő szimmetrikus AB felező merőlegesére. Jelöljük A1-gyel és A2-vel annak a két háromszögnek az AB-vel szemközti csúcsát, amelyekben az AB-vel szemközti szög α. Hasonlóan a β ill. γ, szögekhez tartozó csúcsok legyenek B1 és B2, illetve C1 és C2 (lásd. az ábrát).

 
 

Azt állítjuk, hogy ez a hat pont egy körön fekszik. Ehhez elegendő megmutatni, hogy A1B1C1C2 húrnégyszög. Ekkor ugyanis a húrnégyszög köré írható kör középpontja rajta lesz C1C2 felező merőlegesén, ami megegyezik AB felező merőlegesével; ezért A1 és, B1 tükörképe, A2 és B2 is a körön van.
Azt, hogy az A1B1C1C2 négyszög húrnégyszög, a következőképpen láthatjuk be. A BC1C2 szög váltószöge a B csúcsnál lévő β szögnek, ezért a négyszögben a C1 csúcsnál lévő szög β+γ. A szemközti A1 csúcsnál lévő szög α, ezért a négyszög két szemközti szögének összege α+β+γ=180∘, így az húrnégyszög.
Az AB egyenes által meghatározott másik félsíkban található hat háromszög az előbbiek tükörképe az AB egyenesre.
Az AB egyenesre nem illeszkedő csúcsok tehát két, AB-re szimmetrikus körön helyezkednek el.
Ha az adott háromszög egyenlő szárú, mindkét félsíkban három különböző, nem egy egyenesre eső pont lesz, amelyek ugyancsak egy-egy körön helyezkednek el.
Speciálisan, ha az adott háromszög szabályos, akkor az AB egyenesre nem illeszkedő csúcsok mindkét félsíkban egy-egy pontba esnek (tehát egy pontkörön lesznek).
 

 Bíró Norbert (Székesfehérvár, Teleki B. Gimn., III. o. t.)
 dolgozata alapján