Kezdőlap


Feladat:	F.2701	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1989/január, 15 - 16. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Összefüggések binomiális együtthatókra, Kombinációk, Lottó, Klasszikus valószínűség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/szeptember: F.2701

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladatban természetesen az ún.genovai lottóra gondoltunk (90 szám közül 5-öt húznak ki); Magyarországon (még a feladat megjelenésekor is) ez a jobban ismert játékforma.
Egy húzás legkisebb száma 1-es, 2-es, $...$ , 86-os lehet. Ezeket a számokat $(2 k - 1,2 k)$ alakú párokba kapcsoljuk, ahol $k = 1, 2, ..., 43$ . Minden ilyen párból a páratlan szám többször fordul elő legkisebb kihúzott számként, mint a páros. A keletkező többlet a $(2 k - 1,2 k)$ párnál:

\begin{matrix} T_{k} = (\binom{91 - 2 k}{4}) - (\binom{90 - 2 k}{4}) = (\binom{90 - 2 k}{3}) \end{matrix}

(felhasználtuk a binomiális együtthatókra jól ismert

\begin{matrix} (\binom{n}{t - 1}) + (\binom{n}{t}) = (\binom{n + 1}{t}) \end{matrix}

összefüggést.)
Ennélfogva kérdésünkben a páratlan számok előfordulásának teljes többlete:

\begin{matrix} T = \sum_{k = 1}^{43} T_{k} = \sum_{k = 1}^{43} (\binom{90 - 2 k}{3}) . \end{matrix}

A fenti

T

szám ismeretében a páratlan számmal kezdődő eredmények száma

\begin{matrix} T + \frac{1}{2} [(\binom{90}{5}) - T] = \frac{1}{2} [(\binom{90}{5}) + T], \end{matrix}

a keresett valószínűség pedig

\begin{matrix} \frac{1}{2} [(\binom{90}{5})] + T] / (\binom{90}{5}) = \frac{1}{2} + \frac{T}{2 (\binom{90}{5})} . \end{matrix}

A feladat teljes megoldásához még ki kell számítanunk

T

értékét.
Az egyszerűbb számolás kedvéért új összegezési indexet vezetünk be; legyen:

\begin{matrix} k = 44 - m, azaz m = 44 - k . \end{matrix}

Így fordított sorrendben kapjuk az összeg tagjait:

\begin{matrix} T = \sum_{m = 1}^{43} (\binom{2 m + 2}{3}) . \end{matrix}

Kifejtéssel az összeg futó tagja

\begin{matrix} \frac{2}{3} (m + 1) (2 m + 1) m = \frac{4}{3} m^{3} + 2 m^{2} + \frac{2}{3} m, \end{matrix}

és itt ismert összegképleteket alkalmazva

T

értékét a következő polinom adja az

r = 43

helyen:

\begin{matrix} \frac{4}{3} \frac{r^{2} {(r + 1)}^{2}}{4} + 2 \frac{r (r + 1) (2 r + 1)}{6} + \frac{2}{3} \frac{r (r + 1)}{2} = \\ = \frac{1}{3} r (r + 1) (r (r + 1) + (2 r + 1) + 1) = \\ = \frac{1}{3} r {(r + 1)}^{2} (r + 2) = (2 r + 2) (\binom{r + 2}{3}) . \end{matrix}

Tehát annak a valószínűsége, hogy a legkisebb kihúzott szám páratlan,

\begin{matrix} \frac{1}{2} + \frac{44 \cdot (\binom{45}{3})}{(\binom{90}{5})} \approx 0, 5142. \end{matrix}

Megjegyzések. 1. A lottóhúzás legnagyobb számában viszont a párosaké az előny ‐ legalábbis elméletileg. Minden húzás-képhez ugyanis fel lehet írni az "aritmetikai tükörképét'' a teljes számkészlet centrumára, azaz

(1 + 90) : 2 = 45, 5

-re. Vagyis az

E

első,

M

második,

...

, Ö ötödik szám helyére

(91 - E), ..., (91 - Ö)

lép. Így a sorozat csökkenő lesz, és

91 - E

ellentétes paritású az

E

-vel.
2. Kérdésünk eredete a következő volt: láttunk egy-egy táblázatot az 1957 óta folyó magyar lottójáték-sorozat első 1000 húzásából (azaz 1976 elejéig) a legkisebb, valamint a legnagyobb számok "eloszlásáról'', az előfordult 1‐65, ill. 26‐90 értékek ,,gyakoriságáról''. Azokat a páratlan és páros kategóriákban összegezve a legkisebb helyen

523 : 477

, a legnagyobb helyen

501 : 499

a páratlanok fölénye. A várt

51, 4 %

helyett

52, 3 %

, illetve

49, 9 %

.
Az 1000 kísérletnek tekinthető "mintavétel'' a lehetséges húzás-kimenetelek közel 44 milliós számához képest igen csekély; egyrészt ez teszi érthetővé a " tényszámoknak'' a várhatótól való eltéréseit. Közrejátszik továbbá az is, hogy az első 1000 húzásban, a kihúzott összesen 5000 számban magasan fölényben voltak a páratlanok,

2560 : 2440 = 1, 049

arányban. (Manapság is

1, 02

körüli ez az arány.)
Megpróbálhatjuk "kiszűrni'' az utóbbi tényt az első, illetve utolsó hely eredményeiből. A páratlanok 523-as, 501-es "tényszámait'' csak

2560 : 2440

arányban csökkentve használjuk fel:

498, 5

-öt, illetve

477, 5

-et veszünk figyelembe, és így számítjuk az arányokat:

\begin{matrix} 498, 5 : (498, 5 + 477) & = 498, 5 : 975, 5 = 0, 5110 \\ 499 : (499 + 477, 5) & = 0, 5110. \end{matrix}

A két különböző tényanyagból meglepően egyformán

51, 1 %

-os fölény mutatkozik a várt

51, 4 %

-kal szemben.
Hozzá kell azonban tenni: efféle "Megmagyarázom a bizonyítványomat'' ‐ jellegű számítások csak nagy körültekintéssel használhatók!
3. Érdekes apróság, hogy a legkisebb számra előfordult legnagyobb érték, másfelől a legnagyobbra előfordult legkisebb érték éppen aritmetikailag tükrösek: 65+26=91.