Kezdőlap


Feladat:	F.2698	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1989/január, 14. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/szeptember: F.2698

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az $x$ , $y$ , $z$ számok legkisebbike például $x$ . Az első és a harmadik egyenletet összehasonlítva ekkor azt kapjuk, hogy $x^{3} - y = z^{3} - x$ , vagyis

\begin{matrix} x^{3} + x = z^{3} + y . \end{matrix}

(1)

Feltevésünk szerint egyrészt

x \leq y

, másrészt

x \leq z

, emiatt

x^{3} \leq z^{3}

. (1) bal oldala tehát csak úgy lehet a jobb oldalával egyenlő, ha

x = y

és

x^{3} = z^{3}

, így

x = z

.
Az egyenletrendszer minden valós megoldására tehát

x = y = z

. Ezért

x^{3} - x = 6

, azaz

\begin{matrix} 0 = x^{3} - x - 6 = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 3) . \end{matrix}

Mivel

x^{2} + 2 x + 3 = {(x + 1)}^{2} + 2 > 0

, az egyenletrendszer egyetlen valós megoldása

\begin{matrix} x = y = z = 2. \end{matrix}