A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Tekintsük a feladatot megoldottnak. Jelölje a háromszög csúcsait , , , a körök középpontját , , . Nézzük a háromszög egyik oldalát. Az oldalt érintő két (különböző) kör érinti a háromszög további 1-1 oldalát is, így a két kör középpontja az oldal egyenesének ugyanabban a félsíkjában van, mint . Mivel a körök sugara egyenlő, a középpontjukat összekötő egyenes párhuzamos a kiszemelt oldallal. Ez mindegyik oldalra igaz, ezért a háromszög hasonló az háromszöghöz. A három kör közös pontja a , , pontoktól egyenlő távolságra van, ezért ez a pont a háromszög köré írt körének a középpontja. Ezután a feladatot úgy oldhatjuk meg, hogy szerkesztünk egy hasonló ábrát, és azt alkalmasan kicsinyítjük. Ezt a következőképpen tehetjük meg. Az háromszög mindegyik csúcsa köré a háromszög köré írt kör középpontján is átmenő (és így egyenlő sugarú) köröket rajzolunk. Sorra mindegyik körpárnak húzzuk meg azt a közös érintőjét, amelyik nem metszi a harmadik kört. A három érintő olyan háromszöget határoz meg, amelyik hasonló az háromszöghöz, és a három kör e háromszög oldalait a feladat követelményei szerint érinti. Tekintsük végül azt a hasonlósági transzformációt, amely ezt a háromszöget az háromszögbe viszi át. Ez a transzformáció a három kört olyan körökbe képezi le, amilyeneket szerkeszteni kell. Megjegyzések: 1. Mivel az említett két háromszög "párhuzamosan'' hasonló, középpontosan is hasonló, így könnyű látni, hogy a hasonlóság centruma a belső szögfelezők metszéspontja. A megoldásban azért kellett két kör közös érintői közül a harmadik kört nem metszőt választani, mert az "oldal'' szót "szakasz'' értelemben használjuk, és a hat érintési pont így biztosan az oldalak egy-egy pontja lesz. Azt is látjuk, hogy a feladatnak mindig van megoldása.
1. ábra 2. Ha a feladat szövegében "oldal'' helyett "oldalegyenes'' szerepel, a hasonló ábra készítésénél bármelyik két kör mindkét közös érintője számításba jön, és így az érintők 2‐3 különböző hasonló háromszöget határoznak meg. E 8 megoldás egyikét vázoltuk az 1. ábrán. Itt a és középpontú kör nem az , illetve oldalt, hanem azok meghosszabbítását érinti. Ez esetben a hasonlóság centruma a csúcshoz tartozó belső, és a másik két csúcshoz tartozó külső szögfelező közös pontja. Ha derékszögű háromszög, akkor az előbbi 8 megoldáson kívül még úgy is szerkeszthetők a körök, hogy azok közül kettő érintkező legyen. E négy megoldás egyikét az 5. ábra mutatja. 3. Eredeti feladatunkhoz visszatérve felvetődik a kérdés, hogy a 2. pontban említett (általánosabb értelemben vett) megoldások között van-e még olyan, amelyiknél valamennyi érintési pont az oldalakra (vagy pedig azok meghosszabbítására) esik. A 2. és a 3. ábra mindenesetre azt mutatja, hogy ha az háromszög szabályos, akkor legalább két megoldás lehetséges. A 3. ábrán vázolt esetben a hasonló ábra szerkesztésekor bármelyik két kör közös érintőjét úgy választhatjuk, hogy az messe a harmadik kört.
2. ábra
3. ábra Megmutatjuk, hogy ha az háromszög nem szabályos, akkor a feladatnak pontosan egy megoldása van, szabályos háromszög esetén pedig csak a fenti két megoldás létezik. Ehhez a 2. pontban szereplő eseteket egyenként meg kell vizsgálni. Állításunk könnyen belátható minden olyan esetben, amikor a háromszög megszerkesztéséhez felhasznált közös érintők valamelyike nem metszi az őt nem érintő harmadik kört; a részleteket az Olvasóra hagyjuk.
4. ábra
5. ábra Tegyük fel viszont, hogy az háromszöghöz található három, egy ponton átmenő, egyenlő sugarú , ill. kör úgy, hogy ezek rendre érintik az és és , ill. és oldalakat, továbbá metszik a , ill. oldalt. Feltehetjük, hogy például . Kicsinyítsük a köröket -ből úgy, hogy a kapott , , körök közül éppen az háromszögbe írt kör legyen (4. ábra). Jelölje , , és középpontjait , és ; -ből az egyenesre állított merőleges talppontja legyen , végül jelöljük -vel azt a pontot, amelyben a oldalt érinti. Mivel érinti az oldalt, ezért Mint azt már korábban láttuk, az háromszög hasonló -hez, a hasonlóság aránya pedig , ahol az háromszögbe, pedig a háromszög köré írható körnek a sugara. Így (a háromszög oldalait és szögeit a szokásos módon jelölve) Az és az derékszögű háromszögek egybevágók, hiszen közös átfogójukon kívül egyik hegyesszögük ; ezért (1), (2) és (3) alapján azaz (a háromszög területét -vel jelölve)
így Mivel feltevésünk szerint , ezért a fenti egyenlőtlenségből következik; az háromszög tehát szabályos. |