Kezdőlap


Feladat:	F.2694	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1988/november, 375. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvényegyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/május: F.2694

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a megadott összefüggésbe $x = y = 0$ -t helyettesítünk, ezt kapjuk:

\begin{matrix} f (0) = f (0) f (t) + f (0) f (t); \end{matrix}

itt

f (0) \neq 0

-val oszthatunk, s így

f (t) = \frac{1}{2}

. Az

y = 0

helyettesítéssel

\begin{matrix} f (x) = f (x) \cdot f (t) + f (0) \cdot f (t - x) . \end{matrix}

Felhasználva, hogy

f (t) = f (0) = \frac{1}{2}

, a rendezés után

f (x) = f (t - x)

adódik. így az (1) összefüggés a következőképpen alakul:

\begin{matrix} f (x + y) = 2 f (x) f (y) . \end{matrix}

(2)

Ha ebben az

y = t - x

helyettesítést alkalmazzuk, akkor

\begin{matrix} \frac{1}{2} = f (t) = 2 \cdot f (x) \cdot f (t - x) = 2 f^{2} (x), \end{matrix}

ahonnan

| f (x) | = \frac{1}{2}

, minden

x

-re. Végül (2)-ben

x

és

y

helyébe egyaránt

\frac{x}{2}

-t írva azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} f (x) = 2 f^{2} (\frac{x}{2}) ≧ 0; \end{matrix}

tehát minden

x

-re

f (x) = \frac{1}{2}