Kezdőlap


Feladat:	F.2692	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1989/május, 206. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek nevezetes tételei, Kombinatorikai leszámolási problémák, Kombinációk, Klasszikus valószínűség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/május: F.2692

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először azt kell tisztáznunk, milyen modellben dolgozunk. Három különböző számot $(\binom{179}{3})$ -féleképpen választhatunk ki (a sorrendre nem vagyunk tekintettel), s bármely két kiválasztás ugyanolyan valószínű, vagyis a "klasszikus modellt'' használjuk. (Az eredményen nem változtatna, ha a sorrendet is figyelembe vennénk, hiszen akkor az összes és a jó esetek száma egyaránt a hatszorosára nőne.) Az összes esetek száma tehát $(\binom{179}{3})$ .
Összeszámoljuk a jó eseteket. Legyen a három kiválasztott szög nagyság szerint $α^{\circ} < β^{\circ} < γ^{\circ}$ . Ezek pontosan akkor alkotnak háromszöget, ha $γ = 180^{\circ} - α - β$ ; $α$ és $β$ tehát egyértelműen meghatározza $γ$ értékét, ha $α + β < 180^{\circ}$ ( $α + β ≧ 180^{\circ}$ esetén nincs megfelelő $γ$ ). Számoljuk össze hány megfelelő $β$ található egy rögzített $α$ -hoz.

1. eset:

α = 2 a

páros. Ekkor

β

lehetséges értékei:

2 a + 1,2 a + 2, ..., 89^{\circ} - a

. Ezzel

β ≦ 89^{\circ} - a

miatt valóban

γ = 180^{\circ} - (α + β) ≧ 180^{\circ} - (89^{\circ} + a) = 91^{\circ} - a > β

(míg

β ≧ 90^{\circ} - a

esetén már

γ = 180^{\circ} - (α + β) ≦ 180^{\circ} - (90^{\circ} + a) = 90^{\circ} - a ≦ β

lenne). Adott

α

-ra ez

89^{\circ} - 3 a

lehetőség. Az

a

értéke

1

és

29

között változhat, hiszen a legkisebb szög

60^{\circ}

-nál kisebb, és ekkor

89^{\circ} - 3 a

is pozitív. Így összesen

\begin{matrix} \sum_{n = 1}^{29} (89 - 3 a) = 89 \cdot 29 - 3 \sum_{a = 1}^{29} a = 89 \cdot 29 - 3 \cdot \frac{29 \cdot 30}{2} = 1276 \end{matrix}

lehetőséget kapunk.

2. eset:

α = 2 a - 1

páratlan. Ekkor

β

lehetséges értékei:

2 a

2 a + 1

...

90^{\circ} - a

. (

β ≦ 90^{\circ} - a

szerint

γ = 180^{\circ} - (α + β) ≧ 180^{\circ} - (89^{\circ} + a) = 91^{\circ} - a > β

és

β ≧ 91^{\circ} - a

esetén már

γ < β

következne.) Az

a

most

1

és

30

között változhat (pontosan ekkor teljesül

α = 2 a - 1 ≦ 59

), így ez az eset

\begin{matrix} \sum_{a = 1}^{30} (91 - 3 a) = 91 \cdot 30 - 3 \sum_{a = 1}^{30} a = 1335 \end{matrix}

lehetőséget ad.

A két esetben összesen

1276 + 1335 = 2611

jó kiválasztást kapunk, a keresett valószínűség tehát:

\begin{matrix} \frac{2611}{(\binom{179}{3})} = \frac{2611}{939 929} \approx 0,002 777 9. \end{matrix}