Kezdőlap


Feladat:	F.2691	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Baboss Cs. , Balogh 171 J. , Binder Zsuzsa , Csirik J. , Dutkó A. , Hídvégi Z. , Jónás A. , Keleti T. , Kodaj B. , Máté Nóra , Mezei J. , Nagy 124 G. , Pesti P. , Peták A. , Révész G. , Rockenbauer Eszter , Siklér F. , Sustik M. , Szabó 668 T. , Szemerédi F. , Térmeg L. , Vörös T.
Füzet:	1988/december, 443 - 444. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Azonosságok, Indirekt bizonyítási mód, Szabályos sokszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/április: F.2691

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy az oszlopok magasságát meg tudtuk választani a kívánt módon. Legyenek ezek a magasságok $a, b, c, d, e, f, g .$

Az ábrán az

A

és

C

másodszomszéd hétszög-csúcsok, e csúcsokba állított oszlopok magassága

a,

illetve

c,

az oszlopok tetejét összekötő huzal végpontjai

A_{1}

, illetve

C_{1}

. Az

X

és

Y

pontok a huzalt keresztező másik két huzal

A_{1} C_{1}

-re eső vetületei. Legyen

β / α

az az arány, ahogyan

X

A_{1} C_{1}

szakaszt osztja. Ekkor

Y

ugyanezt a szakaszt

α / β

arányban osztja, hiszen a hétszög szabályos. Nyilván

α

és

β

megválasztható úgy, hogy

α + β = 1

legyen. Ekkor az ábrán

x

-szel jelölt szakasz hossza:

\begin{matrix} x = α \cdot a + β \cdot c . \end{matrix}

Tegyük fel, hogy ennél a kereszteződésnél

x

az egymás "feletti'' pontok közül az alacsonyabban levőnek a magassága a hétszög síkja felett. A feladat szövegében az alul-felül keresztezésekre tett feltétel miatt, egyetlen keresztezés milyensége meghatározza a többit. Ezért

x

-hez hasonlóan kiszámítva a kereszteződések alacsonyabban fekvő pontjainak a hétszög síkja feletti magasságát és ezeket összegezve a következőt kapjuk:

\begin{matrix} (α a + β c) + (α c + β e) + (α e + β g) + (α g + β b) + (α b + β d) + (α d + β f) + \\ + (α f + β a) = (α + β) (a + b + c + d + e + f + g) = a + b + c + d + e + f + g . \end{matrix}

Hasonlóan meghatározhatjuk az egy-egy kereszteződésben egymás "feletti'' pontok közül a magasabban fekvőknek a hétszög síkja feletti magassága összegét. Egy ilyen magasság pl.

y = β a + α c .

Ezeknek a magasságoknak az összege:

\begin{matrix} (β a + α c) + (β c + α e) + (β e + α g) + (β g + α b) + (β b + α d) + (β d + α f) + \\ + (β f + α a) = (α + β) (a + b + c + d + e + f + g) = \\ = a + b + c + d + e + f + g . \end{matrix}

Ha a feladat megoldható lenne, a második esetben nagyobb összeget kaptunk volna. A két összeg egyenlősége ellentmondás, tehát az oszlopok magassága a kívánt módon nem választható meg.

Megjegyzés. A megoldásban fölhasználtuk, hogy a hétszög szabályos. Megmutatható azonban, hogy a megfelelő állítás bármilyen konvex hétszögre, sőt bármilyen háromnál nagyobb páratlan oldalszámú konvex sokszögre is érvényes. (A konvexitásra azért van szükség, hogy egyáltalán létrejöjjenek a keresztezések.)