A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen az adott kör , középpontja , sugara , az adott pont pedig . Egy a -t érintő és -n átmenő kör legyen , középpontja , sugara . Először azt az esetet vizsgáljuk, amikor a -n kívül van. Ekkor -t kívülről is, belülről is érintheti a kör, és ennek megfelelően minden ilyen középpontra hiszen nyilvánvalóan , és a két kör érintési pontja egy egyenesen van. Tekintve, hogy , az (1) egyenletekből: Megfordítva, ha az pont kielégíti a (2) összefüggést, akkor megfelel a feladat követelményeinek, ugyanis a kör az középpontú sugarú kört érinteni fogja. Az első esetben tehát a keresett mértani hely pontosan azoknak az pontoknak a halmaza, amelyek kielégítik (2)-t. Mint tudjuk, ezek annak a hiperbolának pontjai, amelynek valós tengelye hosszúságú, fókuszai pedig és . Ez a hiperbola biztosan létezik, hiszen . Ha a pont a körön van, akkor a keresett körközéppontok az egyenesen lehetnek, és ennek az pont kivételével az egyenes minden pontja megfelel. Hátravan még az az eset, amikor a körön belül van. Ekkor az első esethez hasonlóan minden lehetséges körközéppontra amiből és minden (3)-at kielégítő pont megfelel. Ebben az esetben tehát a keresett mértani hely éppen azoknak az pontoknak a halmaza, amelyek kielégítik (3)-at. Ezek most annak az ellipszisnek a pontjai, amelynek nagytengelye hosszúságú, fókuszai pedig és . Az ellipszis nyilván létezik, hiszen . |