Feladat: F.2690 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: könnyű
Füzet: 1988/november, 374 - 375. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Ellipszis, mint mértani hely, Ellipszis, mint kúpszelet, Hiperbola, mint kúpszelet, Hiperbola, mint mértani hely, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1988/április: F.2690

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az adott kör k, középpontja O, sugara r, az adott pont pedig P. Egy a k-t érintő és P-n átmenő kör legyen k1, középpontja X, sugara R.
Először azt az esetet vizsgáljuk, amikor P a k-n kívül van. Ekkor k-t kívülről is, belülről is érintheti a k1 kör, és ennek megfelelően minden ilyen X középpontra

OX=R+rvagyOX=R-r,(1)
hiszen nyilvánvalóan O, X és a két kör érintési pontja egy egyenesen van. Tekintve, hogy PX=R, az (1) egyenletekből:
|OP-PX|=r.(2)

Megfordítva, ha az X pont kielégíti a (2) összefüggést, akkor megfelel a feladat követelményeinek, ugyanis a k kör az X középpontú XP sugarú kört érinteni fogja.
Az első esetben tehát a keresett mértani hely pontosan azoknak az X pontoknak a halmaza, amelyek kielégítik (2)-t. Mint tudjuk, ezek annak a hiperbolának pontjai, amelynek valós tengelye r hosszúságú, fókuszai pedig O és P. Ez a hiperbola biztosan létezik, hiszen OP>r.
Ha a P pont a k körön van, akkor a keresett körközéppontok az OP egyenesen lehetnek, és ennek az O pont kivételével az egyenes minden pontja megfelel.
Hátravan még az az eset, amikor P a k körön belül van. Ekkor az első esethez hasonlóan minden lehetséges X körközéppontra
OX=r-R,
amiből
OX+PX=r,(3)
és minden (3)-at kielégítő X pont megfelel.
Ebben az esetben tehát a keresett mértani hely éppen azoknak az X pontoknak a halmaza, amelyek kielégítik (3)-at. Ezek most annak az ellipszisnek a pontjai, amelynek nagytengelye r hosszúságú, fókuszai pedig O és P. Az ellipszis nyilván létezik, hiszen OP<r.