|
Feladat: |
F.2689 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Balogh 171 J. , Benczúr P. , Binder Zsuzsa , CSöreg S. , Elbert Judit , Fleiner T. , Gál I. , Gutai Zs. , Győrvári Zs. , Jónás A. , Keleti T. , Kodaj B. , Lancsa Hajnalka , Mezei J. , Pintér I. , Schultz J. , Siklér F. , Sustik M. , Szamuely T. , Tóth P. , Veres L. , Vörös T. , Wiandt T. |
Füzet: |
1988/november,
373 - 374. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Exponenciális egyenletek, "e" szám közelítő kiszámítása, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1988/április: F.2689 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldásunk legfontosabb mozzanata az lesz, hogy az kifejezésről különböző becslések alkalmazásával megmutatjuk, hogy az értéke a ,,legtöbb esetben'' -nél nagyobb, ill. kisebb. A ,,néhány'' fennmaradó pár közül ezután már könnyű lesz a megoldásokat kiválasztani. A becslések során felhasználjuk majd, hogy tetszőleges pozitív -re és természetes számra fennáll az egyenlőtlenség, ahol a természetes logaritmus alapját jelöli; ennek nagyságáról csupán annyit használunk fel, hogy , . Egyenletünknek nyilván nincs olyan megoldása, melyre ; így két fő esetet különböztetünk meg. 1. eset: . Legyen , ahol . Tegyük fel, hogy ; ekkor miatt | |
Ebben az esetben tehát csak olyan megoldás létezhet, amelyre , vagy . Ha , akkor szükségképpen , ez megoldás. Ha , akkor egyenletünk (-re) a következő: Mivel , ezért az első szóba jövő érték , és ez (-vel) valóban megoldás. nem megoldás, ha pedig , akkor indukcióval megmutatjuk, hogy (vagyis az egyenlet bal oldala ilyenkor -nél kisebb. -re ez igaz; tegyük fel, hogy igaz valamilyen, -nél nagyobb -re, akkor alapján | | az egyenlőtlenség tehát minden, -nél nagyobb egészre teljesül. Az esetben így a találtakon kívül nincs más megoldás. 2. eset: . Most az jelölést vezetjük be, ahol . Tegyük fel, hogy , ekkor
a megoldásként szóba jövő számok tehát csak és . Ha , akkor az egyenletből , ez nem megoldás. Ha , akkor az egyenlet: Az 1. eset vizsgálatánál beláttuk, hogy ennek az összefüggésnek a bal oldala -nél nagyobb, ha legalább . Marad és , de ezek egyike sem megoldás. Az egyenletnek eleget tevő számpárok így a következők: |
|