Kezdőlap


Feladat:	F.2689	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balogh 171 J. , Benczúr P. , Binder Zsuzsa , CSöreg S. , Elbert Judit , Fleiner T. , Gál I. , Gutai Zs. , Győrvári Zs. , Jónás A. , Keleti T. , Kodaj B. , Lancsa Hajnalka , Mezei J. , Pintér I. , Schultz J. , Siklér F. , Sustik M. , Szamuely T. , Tóth P. , Veres L. , Vörös T. , Wiandt T.
Füzet:	1988/november, 373 - 374. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Exponenciális egyenletek, "e" szám közelítő kiszámítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/április: F.2689

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldásunk legfontosabb mozzanata az lesz, hogy az $x^{y} - y^{x}$ kifejezésről különböző becslések alkalmazásával megmutatjuk, hogy az értéke a ,,legtöbb esetben'' $1$ -nél nagyobb, ill. kisebb. A ,,néhány'' fennmaradó $(x, y)$ pár közül ezután már könnyű lesz a megoldásokat kiválasztani. A becslések során felhasználjuk majd, hogy tetszőleges pozitív $d$ -re és $n$ természetes számra fennáll az

\begin{matrix} {(1 + \frac{d}{n})}^{n} < e^{d} \end{matrix}

egyenlőtlenség, ahol

e

a természetes logaritmus alapját jelöli; ennek nagyságáról csupán annyit használunk fel, hogy

e < 2

8

.
Egyenletünknek nyilván nincs olyan megoldása, melyre

x = y

; így két fő esetet különböztetünk meg.
1. eset:

x > y

.
Legyen

x = y + d

, ahol

d ≧ 1

. Tegyük fel, hogy

y ≧ 3

; ekkor

\begin{matrix} y^{d} ≧ 3^{d} > e^{d} > {(1 + \frac{d}{y})}^{y} \end{matrix}

miatt

\begin{matrix} x^{y} - y^{x} = {(y + d)}^{y} - y^{y + d} = y^{y} ({(1 + \frac{d}{y})}^{y} - y^{d}) < y^{y} (e^{d} - y^{d}) ≦ y^{y} (e^{d} - 3^{d}) < 0. \end{matrix}

Ebben az esetben tehát csak olyan megoldás létezhet, amelyre

y = 1

, vagy

y = 2

. Ha

y = 1

, akkor szükségképpen

x = 2

, ez megoldás. Ha

y = 2

, akkor egyenletünk (

x

-re) a következő:

\begin{matrix} x^{2} - 2^{x} = 1. \end{matrix}

Mivel

x > y

, ezért az első szóba jövő érték

x = 3

, és ez (

y = 2

-vel) valóban megoldás.

x = 4

nem megoldás, ha pedig

x ≧ 5

, akkor indukcióval megmutatjuk, hogy

2^{x} - x^{2} > 2

(vagyis az egyenlet bal oldala ilyenkor

(- 2)

-nél kisebb.

x = 5

-re ez igaz; tegyük fel, hogy igaz valamilyen,

4

-nél nagyobb

x

-re, akkor

2^{x} - x^{2} > 2

alapján

\begin{matrix} 2^{x + 1} - {(x + 1)}^{2} = 2 \cdot 2^{x} - {(\frac{x + 1}{x})}^{2} x^{2} > 2 \cdot 2^{x} - \frac{36}{25} x^{2} > 2 (2^{x} - x^{2}) > 2 \cdot 2 > 2; \end{matrix}

az egyenlőtlenség tehát minden,

4

-nél nagyobb egészre teljesül. Az

x > y

esetben így a találtakon kívül nincs más megoldás.
2. eset:

x < y

.
Most az

y = x + d

jelölést vezetjük be, ahol

d ≧ 1

.
Tegyük fel, hogy

x ≧ 3

, ekkor

\begin{matrix} x^{y} - y^{x} = x^{x + d} - {(x + d)}^{x} = x^{x} (x^{d} - {(1 + \frac{d}{x})}^{x}) & > \\ > x^{x} (x^{d} - e^{d}) \geq 3^{3} (3^{d} - e^{d}) ≧ 3^{3} (3 - e) & > 1; \end{matrix}

a megoldásként szóba jövő számok tehát csak

x = 1

és

x = 2

. Ha

x = 1

, akkor az egyenletből

y = 0

, ez nem megoldás.
Ha

x = 2

, akkor az egyenlet:

\begin{matrix} 2^{y} - y^{2} = 1. \end{matrix}

Az 1. eset vizsgálatánál beláttuk, hogy ennek az összefüggésnek a bal oldala

2

-nél nagyobb, ha

y

legalább

5

. Marad

y = 3

és

y = 4

, de ezek egyike sem megoldás.
Az egyenletnek eleget tevő számpárok így a következők:

\begin{matrix} x_{1} = 2, y_{1} = 1 és x_{2} = 3, y_{2} = 2. \end{matrix}