Feladat: F.2687 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Baboss Cs. ,  Balogh 171 J. ,  Benczúr Péter ,  Binder Zsuzsa ,  Csáki Cs. ,  Csirik J. ,  CSöreg S. ,  Fleiner T. ,  Gutai Zs. ,  Győrvári Zs. ,  Hídvégi Z. ,  Jónás A. ,  Keleti T. ,  Kocsor A. ,  Kodaj B. ,  Lancsa Hajnalka ,  Lois L. ,  Máté Nóra ,  Mezei J. ,  Nyúl L. ,  Peták A. ,  Péter I. ,  Rockenbauer Eszter ,  Schultz J. ,  Sustik M. ,  Szabó 668 T. ,  Tasi Andrea ,  Tóth P. ,  Veres L. ,  Vörös T. 
Füzet: 1988/november, 372 - 373. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1988/április: F.2687

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladatban x, y és z szerepe ciklikusan szimmetrikus, azaz x helyébe y-t, y helyébe z-t, z helyébe pedig x-et írva az egyenletrendszer ugyanaz marad. Feltehetjük tehát, hogy a három ismeretlen közül y a (nagyság szerinti) középső, így x≦y≦z vagy x≧y≧z. A legnagyobb ismeretlen nem lehet 1-nél kisebb, hiszen három, 1-nél kisebb szám pozitív kitevőjű hatványainak összege 3-nál kisebb. Hasonlóan látható be az is, hogy a legkisebb ismeretlen értéke nem lehet 1-nél nagyobb. A két megkülönböztetendő esetben ezért x≦1≦z, ill. x≧1≧z.
Az első és a második egyenlet bal oldalának egyenlőségéből

y-1=1y((x3-x)+(z2-z3))(1)
adódik, míg az első és a harmadik egyenletből
y-1=1y2((x-x2)+(z3-z)).(2)
Az első esetben (1) jobb oldalán két nempozitív szám összege áll, (2) jobb oldalán pedig két nemnegatív számnak az összege; így y-1=0, azaz y=1. Ugyanezt kapjuk a második esetben is, mivel ekkor (1) jobb oldala nem negatív, (2) jobb oldala pedig nem pozitív. Az egyenletrendszer első két egyenletébe y=1-et beírva:
x+z3=2=x3+z2,
így
x-x3=z2-z3.

Az első esetben ezért
0≦x-x3=z2-z3≦0,
vagyis mindenképpen x-x3=z2-z3=0, azaz x=1=z. Az egyenletrendszer egyetlen pozitív megoldása tehát x=y=z=1.