Kezdőlap


Feladat:	F.2684	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balogh 171 J. , Bánkövi D. , Benczúr P. , Benkő D. , Binder Zsuzsanna , Bíró 100 A. , Bodnár B. , Buttyán L. , Csáki Cs. , Csirik J. , Fleiner T. , Gál I. , Jónás A. , Keleti T. , Kodaj B. , Máté Nóra , Mezei J. , Peták A. , Péter I. , Siklér F. , Somfai E. , Sustik M. , Tirpák Eszter , Tókei Zs. , Tóth 702 P. , Wolkensdorfer Péter
Füzet:	1988/november, 370 - 371. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Súlypont, Indirekt bizonyítási mód, Egyéb szinezési problémák, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/március: F.2684

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az állítást indirekt úton bizonyítjuk. Tegyük fel, hogy nincs olyan háromszög, amelynek csúcsai és súlypontja azonos színűek. Ekkor biztosan létezik olyan $A B C$ háromszög, amelynek minden csúcsa kék. Ha ugyanis ilyen nem lenne, akkor a síknak legfeljebb egyetlen egyenese tartalmazhatna kék pontokat, de ekkor indirekt feltevésünkkel ellentétben létezne olyan háromszög, amelynek valamennyi csúcsa és súlypontja egyaránt piros. Van tehát olyan $A B C$ háromszög, amelynek minden csúcsa kék. Feltevésünk szerint ennek $S$ súlypontja piros.

Nagyítsuk

S

-ből négyszeresére az

A B C

háromszöget, legyen a képháromszög

A' B' C'

. Világos, hogy az

S A

S B

S C

súlyvonalak képe

S A'

S B'

S C'

, ezért

S

A' B' C'

háromszögnek is súlypontja. Mivel

\frac{S A'}{S A} = 4

, ezért

A A' = 3 \cdot A S

.
Jelölje

F

B C

oldal felezőpontját;

A S = \frac{2}{3} A F

, így előbbi megállapításunk szerint

A A' = 3 \cdot \frac{2}{3} A F = 2 A F

. Ez azt jelenti, hogy

A

A' B C

háromszög súlypontja. Indirekt feltevésünk szerint

A'

piros, hiszen ha kék lenne, akkor az

A' B C

háromszög csúcsai és súlypontja is kék pontok volnának. Hasonlóan megmutatható, hogy

B'

és

C'

is piros.
Így az

A' B' C'

háromszög minden csúcsa és súlypontja is piros, ami ellentmondás.

Wolkensdorfer Péter (Székesfehérvár, József A. Gimn., IV. o. t.)