Kezdőlap


Feladat:	F.2683	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bíró András
Füzet:	1988/november, 369 - 370. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Szimmetrikus egyenletek, Geometriai egyenlőtlenségek, Polinomok szorzattá alakítása, Koszinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/március: F.2683

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A bizonyítandó egyenlőtlenséget több lépésben úgy fogjuk alakítani, hogy az átalakított egyenlőtlenségek az eredetivel ekvivalensek legyenek. Végül olyan egyenlőtlenséghez jutunk, amelyet már egyszerűen igazolhatunk. Írjuk be az

\begin{matrix} s = \frac{a + b + c}{2}, s - a = \frac{- a + b + c}{2}, s - b = \frac{a - b + c}{2}, s - c = \frac{a + b - c}{2} \end{matrix}

kifejezéseket, továbbá osszuk mindkét oldalt

2

-vel. Ekkor kapjuk:

\begin{matrix} \frac{a b}{a + b - c} + \frac{b c}{- a + b + c} + \frac{c a}{a - b + c} ≧ a + b + c . \end{matrix}

(1)

Mivel

a

b

és

c

egy háromszög oldalai, mindegyik nevező pozitív. Tovább alakítva:

\begin{matrix} a b (- a + b + c) (a - b + c) + b c (a + b - c) (a - b + c) + c a (a + b - c) (- a + b + c) ≧ \\ ≧ (a + b + c) (a + b - c) (- a + b + c) (a - b + c) . \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} a b [c^{2} - {(a - b)}^{2}] + b c [a^{2} - {(b - c)}^{2}] + c a [b^{2} - {(a - c)}^{2}] ≧ \\ ≧ [2 a b + (a^{2} + b^{2} - c^{2})] [2 a b - (a^{2} + b^{2} - c^{2})], \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} a b (c^{2} - a^{2} + 2 a b - b^{2}) + b c (a^{2} - b^{2} + 2 b c - c^{2}) + c a (b^{2} - a^{2} + 2 a c - c^{2}) ≧ \\ ≧ 4 a^{2} b^{2} - (a^{4} + b^{4} + c^{4} + 2 a^{2} b^{2} - 2 a^{2} c^{2} - 2 b^{2} c^{2}) . \end{matrix}

(Közben többször is felhasználtuk az

(x + y) (x - y) = x^{2} - y^{2}

azonosságot.)
Az így kapott egyenlőtlenségben a kijelölt műveleteket elvégezve, nullára redukálva és alkalmasan csoportosítva:

\begin{matrix} (a^{4} - a^{3} b - a^{3} c + a^{2} b c) + (b^{4} - b^{3} a - b^{3} c + b^{2} a c) + (c^{4} - c^{3} a - c^{3} b + c^{2} a b) ≧ 0. \end{matrix}

Az egyes csoportokat szorzattá alakítva:

\begin{matrix} a^{2} (a - b) (a - c) + b^{2} (b - a) (b - c) + c^{2} (c - a) (c - b) ≧ 0. \end{matrix}

(2)

A bizonyítandó állítás

a, b

és

c

-ben szimmetrikus, ezért föltehetjük, hogy

a ≦ b ≦ c .

Ekkor (2) első tagja biztosan nem negatív, a másik két tag összege pedig így becsülhető:

\begin{matrix} b^{2} (b - a) (b - c) + c^{2} (c - a) (c - b) = (c - b) (b^{2} (a - b) + c^{2} (c - a)) ≧ \\ ≧ (c - b) (b^{2} (a - b) + b^{2} (c - a)) = {(c - b)}^{2} b^{2} ≧ 0. \end{matrix}

Mivel (2) ekvivalens a bizonyítandó egyenlőtlenséggel, az állítást beláttuk. Az utolsó becslés alapján nyilvánvaló, hogy egyenlőség csak

a = b = c

esetén áll fenn.

Bíró András (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., III. o. t.)

II. megoldás. Az (1) egyenlőtlenség mindkét oldalát osszuk el

(a + b + c)

-vel:

\begin{matrix} \frac{a b}{{(a + b)}^{2} - c^{2}} + \frac{b c}{{(b + c)}^{2} - a^{2}} + \frac{c a}{{(a + c)}^{2} - b^{2}} ≧ 1. \end{matrix}

(3)

A koszinusztétel alapján pl.

c^{2}

így írható:

\begin{matrix} c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b cos γ = {(a + b)}^{2} - 2 a b (1 + cos γ), \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} \frac{a b}{{(a + b)}^{2} - c^{2}} = \frac{1}{2 (1 + cos γ)}, \end{matrix}

ahol

γ

jelöli a

c

oldallal szemközti szöget. Hasonlóan fejezhető ki a (3) bal oldalán szereplő másik két hányados is; ezért (3) így alakul:

\begin{matrix} \frac{1}{2 (1 + cos α)} + \frac{1}{2 (1 + cos β)} + \frac{1}{2 (1 + cos γ)} ≧ 1, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} \frac{3}{2} ≧ \frac{3}{\frac{1}{1 + cos α} + \frac{1}{1 + cos β} + \frac{1}{1 + cos γ}} . \end{matrix}

A jobb oldalon az

1 + cos α, 1 + cos β, 1 + cos γ

számok harmonikus közepe van, ami nem nagyobb, mint e számok számtani közepe. Elegendő tehát azt bizonyítani, hogy

\begin{matrix} \frac{3}{2} ≧ \frac{1 + cos α + 1 + cos β + 1 + cos γ}{3}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} \frac{3}{2} ≧ cos α + cos β + cos γ, \end{matrix}

ez pedig minden háromszögben igaz (lásd pl. Molnár Emil: Matematikai versenyfeladatok gyűjteménye, 342. old.). Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha

α = β = γ