Kezdőlap


Feladat:	F.2682	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1988/november, 368 - 369. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Összefüggések binomiális együtthatókra, Exponenciális egyenlőtlenségek, Sorozat határértéke, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/március: F.2682

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismeretes, hogy

\begin{matrix} (\binom{2 n}{n}) = \frac{(2 n)!}{n! n!} = \frac{2 n (2 n - 1)}{n \cdot n} \cdot \frac{(2 n - 2) (2 n - 3)}{(n - 1) \cdot (n - 1)} \cdot ... \cdot \frac{2 \cdot 1}{1 \cdot 1} = & (1) \\ = 4 \cdot \frac{2 n - 1}{2 n} \cdot 4 \cdot \frac{2 n - 3}{2 n - 2} \cdot ... \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 4^{n} \cdot \frac{2 n - 1}{2 n} \cdot \frac{2 n - 3}{2 n - 2} \cdot ... \cdot \frac{1}{2} . \end{matrix}

Mivel itt

4^{n}

-nek és

1

-nél kisebb pozitív számoknak a szorzata áll, ezért

\begin{matrix} (\binom{2 n}{n}) < 4^{n} . \end{matrix}

(2)

Ha viszont (1)-ben az

\frac{1}{2}

kivételével mindegyik tört számlálóját

1

-gyel csökkentjük, akkor azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} (\binom{2 n}{n}) > 4^{n} \cdot \frac{2 n - 2}{2 n} \cdot \frac{2 n - 4}{2 n - 2} \cdot ... \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4^{n}}{2 n} . \end{matrix}

(3)

A (2) és (3) egyenlőtlenségekben

n

-edik gyököt vonva tehát

\begin{matrix} \frac{4}{\sqrt[n]{2 n}} < \sqrt[n]{(\binom{2 n}{n})} < 4 \end{matrix}

(4)

adódik.
Megmutatjuk, hogy a nevezőben szereplő

\sqrt[n]{2 n}

sorozat

1

-hez tart. Nyilván

\sqrt[n]{2 n} > 1

minden pozitív egész

n

-re, továbbá

n ≧ 3

esetén a számtani és mértani közép közötti összefüggés értelmében

\begin{matrix} \sqrt[n]{2 n} = \sqrt[n]{2 \cdot \sqrt[]{n} \cdot \sqrt[]{n} \cdot 1 \cdot ... \cdot 1} < \frac{2 + 2 \sqrt[]{n} + (n - 3)}{n} = 1 + \frac{2}{\sqrt[]{n}} - \frac{1}{n} . \end{matrix}

\begin{matrix} 1 < \sqrt[n]{2 n} < 1 + \frac{2}{\sqrt[]{n}} - \frac{1}{n} \end{matrix}

egyenlőtlenségek szerint

\sqrt[]{2 n}

két, egyaránt

1

-hez tartozó sorozat közé esik, így a ,,rendőrszabály'' alapján ugyancsak

1

a határértéke.
A (4) bal oldalán álló

\frac{4}{\sqrt[n]{2 n}}

sorozat határértéke tehát

4

, ezért ismét a ,,rendőrszabály'' alkalmazásával kapjuk, hogy

\sqrt[n]{(\binom{2 n}{n})}

-nek létezik határértéke, és az

4

Megjegyzések. 1. A (2), (3) egyenlőtlenségeket más módszerrel is beláthatjuk:

(\binom{2 n}{n})

ugyanis egy

2 n

-elemű halmaz

n

-elemű részhalmazainak a száma, s így nyilván kisebb az összes részhalmazok számánál,

2^{2 n} = 4^{n}

-nél. Figyelembe véve továbbá, hogy

(\binom{2 n}{n})

a legnagyobb a

(\binom{2 n}{k})

alakú binomiális együtthatók között, nagyobb a

(\binom{2 n}{1}), (\binom{2 n}{2}), ..., (\binom{2 n}{2 n - 1})

számok átlagánál, azaz

\frac{2^{2 n} - 2}{2 n - 1}

-nél is.
Könnyen belátható, hogy

\begin{matrix} \frac{2^{2 n} - 2}{2 n - 1} ≧ \frac{4^{n}}{2 n} . \end{matrix}

2. Az ún. Stirling-formula segítségével megmutatható, hogy

(\binom{2 n}{n}) \cdot \frac{\sqrt[]{n}}{4^{n}}

konvergens, és a határértéke

\frac{1}{\sqrt[]{π}}

; így pl. a (3)-nál jóval erősebb

(\binom{2 n}{n}) > \frac{4^{n}}{10 \sqrt[]{n}}

egyenlőtlenség is igaz.