Kezdőlap


Feladat:	F.2681	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1988/november, 367. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletek, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Trigonometrikus egyenletek, Trigonometriai azonosságok, Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/március: F.2681

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Vonjuk ki az egyenlet mindkét oldalából a harmadik tagot, s emeljünk négyzetre. Így $z = x^{2}$ -re harmadfokú egyenletet kapunk, amit rendezve

\begin{matrix} 32 z^{3} - 48 z^{2} + 18 z - 1 = 0 \end{matrix}

alakra hozhatunk.
Vezessük be az

u = 2 z

ismeretlent, ekkor a

\begin{matrix} 4 u^{3} - 12 u^{2} + 9 u - 1 = 0 \end{matrix}

egyenletet kapjuk. Itt az együtthatók összege nulla, azaz

u = 1

gyöke az egyenletnek. Az

(u - 1)

gyöktényezőt kiemelve

\begin{matrix} (u - 1) (4 u^{2} - 8 u - 1) = 0. \end{matrix}

Az egyenlet gyökei

\begin{matrix} u_{1} = 1, u_{2} = \frac{4 + \sqrt[]{12}}{4} és u_{3} = \frac{4 - \sqrt[]{12}}{4}, \end{matrix}

így

\begin{matrix} z_{1} = \frac{1}{2}, z_{2} = \frac{2 + \sqrt[]{3}}{4}, z_{3} = \frac{2 - \sqrt[]{3}}{4} . \end{matrix}

Az eredeti egyenlet lehetséges megoldásai tehát:

\begin{matrix} x_{1,2} = \pm \frac{1}{\sqrt[]{2}}, x_{3,4} \frac{\pm \sqrt[]{2 + \sqrt[]{3}}}{2}, x_{5,6} = \frac{\pm \sqrt[]{2 - \sqrt[]{3}}}{2} . \end{matrix}

Minthogy négyzetre emelést is végeztünk, a kapott megoldások helyességét ellenőrizni kell. Ezt (a kissé fáradságos munkát) elvégezve azt kapjuk, hogy a megoldások:

\begin{matrix} x_{2} = - \frac{1}{\sqrt[]{2}}, x_{3} = \frac{\sqrt[]{2 + \sqrt[]{3}}}{2} és x_{5} = \frac{\sqrt[]{2 - \sqrt[]{3}}}{2} . \end{matrix}

II. megoldás. A

\sqrt[]{1 - x^{2}}

kifejezésnek csak akkor van értelme, ha

- 1 ≦ x ≦ 1

; minden ilyen

x

-re van olyan

α

szög

- 90^{\circ}

és

90^{\circ}

között, amelyre

x = sin α

. Ezzel a helyettesítéssel az egyenlet:

\begin{matrix} 4 sin^{3} α - 3 sin α + (1 - 4 sin^{2} α) cos α = 0. \end{matrix}

(Felhasználtuk, hogy

\sqrt[]{1 - sin^{2} α} = cos α

, ha

- 90^{\circ} ≦ α ≦ 90^{\circ}

.) Ismeretes, hogy

4 sin^{3} α - 3 sin α = - sin 3 α

és

(1 - 4 sin^{2} α) cos α = (4 cos^{2} α - 3) cos α = cos 3 α

. Ebből adódik, hogy

sin 3 α = cos 3 α

.
Ennek megoldása:

\begin{matrix} 3 α = 45^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} és 3 α = - 135^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} . \end{matrix}

- 90^{\circ}

és

90^{\circ}

közé eső

α

értékek tehát:

\begin{matrix} α_{1} = 15^{\circ}, α_{2} = 75^{\circ}, α_{3} = 45^{\circ}, \end{matrix}

így az eredeti egyenletnek a megoldása :

\begin{matrix} x_{1} = sin 15^{\circ} = \frac{\sqrt[]{2 - \sqrt[]{3}}}{2}, x_{2} = sin 75^{\circ} = \frac{\sqrt[]{2 + \sqrt[]{3}}}{2}, x_{3} = sin (- 45^{\circ}) = - \frac{1}{\sqrt[]{2}} . \end{matrix}

Mivel most ekvivalens átalakításokkal jutottunk a megoldáshoz, a behelyettesítésre nincs szükség.