Kezdőlap


Feladat:	F.2677	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Hahn Zsuzsanna , Lancsa Hajnalka , Máté Nóra
Füzet:	1988/október, 310. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pont és egyenes távolsága, Négyzetek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/február: F.2677

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a négyzet átlói egy koordináta-rendszer tengelyei. Ekkor a négyzet csúcsai $A (a; 0)$ , $B (0; a)$ , $C (- a; 0)$ , $D (0; - a)$ , továbbá jelöljük a $P$ pont koordinátáit $x$ és $y$ -nal, a $k$ kör sugarát pedig $r$ -rel. A távolságok négyzete:

\begin{matrix} A P^{2} = {(x - a)}^{2} + y^{2}, B P^{2} = x^{2} + {(y - a)}^{2}, & (1) \\ C P^{2} = {(x + a)}^{2} + y^{2}, D P^{2} = x^{2} + {(y + a)}^{2} . \end{matrix}

Ezekből az összefüggésekből

\begin{matrix} A P^{2} + C P^{2} = 2 (x^{2} + y^{2}) + 2 a^{2} = 2 (r^{2} + a^{2}) \end{matrix}

(2)

\begin{matrix} B P^{2} + D P^{2} = 2 (x^{2} + y^{2}) + 2 a^{2} = 2 (r^{2} + a^{2}), \end{matrix}

(3)

ahol felhasználtuk, hogy

P

rajta van a körön, tehát

x^{2} + y^{2} = r^{2}

.
(2) és (3) négyzetének összegéből

\begin{matrix} A P^{4} + B P^{4} + C P^{4} + D P^{4} = 8 {(r^{2} + a^{2})}^{2} - 2 A P^{2} \cdot C P^{2} - 2 B P^{2} \cdot D P^{2} . \end{matrix}

Ebből az (1)-ben szereplő összefüggésekkel

\begin{matrix} A P^{4} + B P^{4} + C P^{4} + D P^{4} = 8 {(r^{2} + a^{2})}^{2} - 2 (x^{2} + y^{2} + a^{2} - 2 a x) (x^{2} + y^{2} + a^{2} + 2 a x) - \\ - 2 (x^{2} + y^{2} + a^{2} - 2 a y) (x^{2} + y^{2} + a^{2} + 2 a y) = 8 {(r^{2} + a^{2})}^{2} - 2 [{(r^{2} + a^{2})}^{2} - 4 a^{2} x^{2}] - \\ - 2 [{(r^{2} + a^{2})}^{2} - 4 a^{2} y^{2}] = 8 {(r^{2} + a^{2})}^{2} - 4 {(r^{2} + a^{2})}^{2} + 8 a^{2} (x^{2} + y^{2}) = \\ = 4 {(r^{2} + a^{2})}^{2} + 8 a^{2} r^{2} = 4 (r^{4} + a^{4} + 4 a^{2} r^{2}), \end{matrix}

ami valóban független a

P

koordinátáitól.

Hahn Zsuzsanna (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., IV. o. t.)