A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Azt fogjuk bebizonyítani, hogy általánosan, akármennyi pozitív egész szám megadható a kívánt módon. A bizonyítást a számok számára vonatkozó teljes indukcióval végezzük. Kettőre az állítás nyilván igaz; bármely két egymás utáni természetes szám kielégíti a feltételt. Háromra az állítás ugyancsak egyszerűen látható be. Bármely olyan egymás utáni számhármas megfelel, amelyek közül a középső páratlan. Az állítás tehát igaz -re (és -ra). Tegyük most fel, hogy az állítás igaz az esetre; és legyen a feltételeknek eleget tevő számsorozat. Olyan pozitív egész számot keresünk, amelyre a , , , , számsorozat kielégíti a feltételeket az esetre. Először nézzük azokat a számpárokat, amelyekben nem szerepel: esetben , s ez kell, hogy osztója legyen -nek. Az oszthatóság biztosan fennáll, ha osztja -t, hiszen a szóban forgó különbség -nek osztója. Nézzük most a különbséget. Ez az előbbi választással nyilván osztója -nek, hiszen többszöröse minden egyes -nek. Így minden olyan megfelel a feltételnek, amely az összes -nek többszöröse.
|