Kezdőlap


Feladat:	F.2674	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1988/szeptember, 256. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/február: F.2674

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel négyzetgyök alatt nem szerepelhet negatív szám, ezért $x$ sem lehet negatív. Ezért létezik olyan pozitív $y$ , amelyre $y^{12} = x$ . Erre az $y$ -ra a következő egyenletet kapjuk az eredetiből:

\begin{matrix} y^{3} + y^{6} = 2 \cdot y^{4}, \end{matrix}

amely ‐ azzal a megszorítással, hogy

y

nem-negatív ‐ az eredetivel ekvivalens.

y = 0

lehetséges. Ez egyrészt az

y_{1} = 0

, azaz

x_{1} = 0

megoldáshoz vezet; másrészt

y^{3}

-nel osztva az

\begin{matrix} y^{3} - 2 y + 1 = 0 \end{matrix}

(1)

egyenletet nyerjük. Ennek az egyenletnek az 1 gyöke, amiből azt kapjuk, hogy

y_{2} = 1

, azaz

x_{2} = 1

is megoldás. Most már az (1) alatti egyenletet oszthatjuk (

y - 1

)-gyel és így az

\begin{matrix} y^{2} + y - 1 = 0 \end{matrix}

egyenlethez jutunk. Ezt megoldva

y

-ra két gyök adódik:

\begin{matrix} y_{3} = (- 1 + \sqrt[]{5}) / 2 és y_{4} = (- 1 - \sqrt[]{5}) / 2. \end{matrix}

Mivel

y

nem lehet negatív, ezért

y_{4}

nem jön szóba megoldásként.
Eszerint az eredeti egyenlet megoldásai:

x_{1} = 0

x_{2} = 1

és

x_{3} = [(- 1 + + \sqrt[]{5}) / 2]