Feladat: F.2673 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Baboss Cs. ,  Balogh 171 J. ,  Biró A. ,  Buttyán L. ,  Fülöp Cs. ,  Hídvégi Z. ,  Keleti T. ,  Kodaj B. ,  László A. ,  Lois L. ,  Nyúl L. ,  Pásztor G. ,  Péter I. ,  Sustik M. ,  Tóth P. ,  Vörös T. ,  Wiandt T. 
Füzet: 1988/október, 308 - 309. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Háromszögek egybevágósága, Beírt gömb, Vetítések, Euler-egyenes, Poliéderek súlypontja, Tetraéderek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1988/január: F.2673

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feltétel a szabályos tetraéderre is érvényes, ekkor a következmény semmitmondó. Ezért azt is feltesszük, hogy a tetraédernek nem minden éle egyenlő. Használjuk az 1. ábra jelöléseit.

 
 
1. ábra
 

Legyen K az a pont, amelyben a beírt gömb az ABC lapot érinti. K-nak pl. A-tól való távolsága KA=R2-r2, ahol R a tetraéder köré írt, r pedig a beírt gömb sugara. Ugyanekkora a KB és KC szakasz is, tehát K az ABC háromszög köré írt kör középpontja, és e kör sugara R2-r2. Hasonlóan mutatjuk meg, hogy ugyanennyi a tetraéder többi lapja köré írt kör sugara is. Ezért pl. ACB∢=ADB∢, hiszen ugyanakkora sugarú körökben azonos húrhoz tartozó kerületi szögek. (Mivel K az ABC háromszög belső pontja, ABC ‐ s így a tetraéder valamennyi lapja ‐ hegyesszögű.) Az ACB=ADB szöget γ-val jelöltük; hasonló okból egyenlők az ábrán azonos betűkkel jelölt szögek.
Az ABC és BCD háromszögek szögeinek összegére
ε+δ+γ=ε+α+φ,
így
δ+γ=α+φ.(1)
Hasonlóan kapjuk, hogy
δ+φ=α+γ.(2)
(1)-ből és (2)-ből γ=φ adódik, és ugyanígy α=δ és β=ε. Ezekből következik, hogy a tetraéder lapjai egybevágók, a szemközt fekvő, (kitérő) élek egyenlők.
Jelölje F a BC él felezőpontját. Az ABC és DCB háromszögek egybevágósága miatt AF=DF, így az ADF egyenlő szárú háromszög alapjának végpontjait a velük szemben fekvő szár F-hez közelebbi harmadolópontjával összekötő AA1 és DD1 szakaszok ‐ a tetraéder A-ból, ill. D-ből induló súlyvonalai ‐ egyenlők (2. ábra).
 
 
2. ábra
 

A lapok egybevágók lévén, tetraéderünk valamennyi súlyvonala egyenlő hosszúságú. A súlypont minden súlyvonalat a csúcstól számítva 3:1 arányban oszt, így minden csúcstól egyenlő távolságra van. A súlypont tehát egybeesik a körülírt gömb középpontjával. A D csúcsból induló súlyvonal másik végpontja az ABC lap S súlypontja. O-nak, a gömb középpontjának az ABC lap síkjára eső merőleges vetülete ‐ amint azt korábban megállapítottuk ‐ éppen az ABC háromszög köré írt kör K középpontja. KS meghatározza az ABC háromszög Euler-egyenesét, ami egyértelműen meg van határozva, mert a lapok nem szabályos háromszögek, ezért a DS súlyvonal merőleges vetülete az ABC lap Euler-egyenese. Ezen rajta van az ABC háromszög M magasságpontja és a D csúcs V vetülete is. Az Euler-egyenesen
KM=3⋅KS.(3)
A párhuzamos szelők tétele szerint
VK:KS=DO:OS=3:1,
így
VK=3KS.(4)
(3) és (4) alapján tehát VK=KM, következésképpen OV=OM. Az OM átfogójú OKM derékszögű háromszög OK befogójának hossza a tetraéderbe írt gömb sugara, a másik befogóé pedig az ABC háromszög köré írt kör középpontjának és a háromszög magasságpontjának a távolsága. A tetraéder lapjainak egybevágósága miatt tehát az OV=OM távolság nem függ az ABC lap megválasztásától.
 
 
3. ábra
 

 

 Balogh 171 József (Szeged, JATE Ságvári E. Gyak. gimn., II. o. t.)
 dolgozata alapján