Feladat: F.2672 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Balogh 171 J. ,  Bíró 100 A. ,  Elbert J. ,  Kodaj B. ,  Máté N. ,  Pesti P. ,  Szabó 608 T. ,  Szamuely T. ,  Szemerédi F. ,  Tóth 702 P. ,  Vörös T. 
Füzet: 1988/október, 305 - 307. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Derékszögű háromszögek geometriája, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Körérintési szerkesztések, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1988/január: F.2672

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen a két kör középpontja O1, illetve O2, az érintkezési pontjuk pedig M. Az E-ben és F-ben állított merőlegesek metszéspontja G (1. ábra).

 
 
1. ábra
 

Az EO1M és MO2F egyenlő szárú háromszögek alapon fekvő szögei α, illetve β. Ezért ezeknek a háromszögeknek O1, illetve O2-nél lévő külső szögei 2α, illetve 2β. Így az O1GO2 derékszögű háromszögből 2α+2β=90∘, azaz α+β=45∘. Ebből következik, hogy EMF∢=135∘, vagyis az 1. ábrán megrajzolt helyzetben M rajta van az EF szakasz fölötti 135∘-os látóköríven. Feladatunknak azonban olyan megoldásai is lehetnek (lásd 2. ábra), amelyekben az O1 vagy az O2 középpontú kör az e, illetve f egyenes másik félsíkjában van.
 
 
2.a ábra
 

 
 
2.b ábra
 

 
 
2.c ábra
 

 
 
2.d ábra
 

Ezekben az esetekben az EF szakasz másik 135∘ szögű látókörívén, vagy az EF45∘ szögű látókörívein találjuk az M pontot. A 2.c) ábrán vázolt esetben az EF "alatti'' 45∘ szögű látóköríven lesz az M pont (sőt azt is láthatjuk, hogy ennek a látókörívnek a "harmadik síknegyedbe'' eső részén). A 3. ábrán megrajzoltuk az EF húrra illeszkedő látóköríveket, és megvastagítottuk azokat az íveket, amelyeken az M elhelyezkedhet.
 
 
3. ábra
 

Legyen EF felezőpontja P. Mivel az M érintési pont a két kör hasonlósági pontja, és a hasonlóság aránya 1:1, M felezi az F1F szakaszt, ezért MP az EF1F háromszög középvonala. Világos, hogy EF145∘-os szöget zár be OE-vel, tehát MP is. Az M pont így megszerkeszthető, mert rajta van a fentebb említett valamelyik látóköríven és az EF felezőpontján átmenő, OE-vel 45∘-os szöget bezáró egyenesen. Mivel ilyen egyenes kettő van, a 3. ábrán vastagon kihúzott ívekkel négy metszéspont lehetséges. M ismeretében a körök egyszerűen szerkeszthetők.
Megjegyzés. A 3. ábra tulajdonképpen az e, illetve f egyenest E, illetve F-ben érintő és egymást is érintő (tetszőleges sugarú) körök érintkezési pontjainak mértani helyét adja meg. A megvastagított ívek a kívülről érintkező, a többi ív a belülről érintkező körpárok érintési pontjainak mértani helye.
 
 
4. ábra
 

II. megoldás. Használjuk a 4. ábra jelöléseit. Feladatunk az EO1O2F töröttvonal megszerkesztése, ahol tudjuk, hogy EO1=O2F=r, és ismerjük e két szakasz irányát, továbbá azt is, hogy O1O2=2r. Legyen az O1-ből O2F-fel párhuzamosan húzott sugár másik végpontja F'.
Az EO1F'F töröttvonal könnyen megszerkeszthető, mert első két szakaszának nagyságát és irányát ismerve, tudunk hozzá hasonlót szerkeszteni. Mérjünk fel EO1-re E-ből tetszőleges szakaszt, legyen ennek másik végpontja O1*. O1* -ban EO1* -re állított merőlegesre mérjük rá az EO1* szakaszt, így kapjuk az F* pontot. F*-ból F'F-fel húzott párhuzamos az N pontban metszi az EF szakaszt. Az EO1*F*∼EO1F' és EF*N∼EF'F hasonlóságokból következik, hogy F*N kétszerese az EO1* szakasznak, hiszen F'F is kétszerese EO1-nek. Ezért N megszerkeszthető, mint az F* köré rajzolt 2⋅EO1* sugarú kör és EF metszéspontja.
Az EO1*F*N töröttvonal középpontosan hasonló az EO1F'F töröttvonalhoz, és a hasonlóság középpontja E. Ezért a rajzot úgy nagyítjuk, hogy N az F pontban menjen át, és közben kapjuk az F' és az O1 pontokat. A feladatnak négy megoldása lesz, mert az F* középpontú 2⋅EO1* sugarú kör két pontban metszi az EF egyenest, továbbá O1* az e egyenes másik partján is lehet, mint O1.
 

Megjegyzés. Ez a megoldás akkor is működik, ha az e és f félegyenesek nem merőlegesek. Hasonlóan az I. megoldás is használható, 2α+2β helyére 180∘-FGE∢ lép.
 

III. megoldás. OE=a és OF=b jelöléssel a 4. ábra alapján (a-r)2+(b-r)2=4r2. Ez |r|-re másodfokú egyenlet, amelynek gyöke ‐ mint tudjuk ‐ megszerkeszthető, és ezután megszerkeszthetők a körök is. A másik két gyök abszolút értéke adódik pl. a következő egyenletből: (a+r)2+(b-r)2=4r2.