Kezdőlap


Feladat:	F.2671	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balogh J. , Benczúr P. , Csáki Cs. , Csanádi P. , Fleiner Tamás , Gál I. , Keleti T. , László A. , Makay L. , Nagy G. , Peták A. , Sustik M. , Tóth P. , Wiandt T.
Füzet:	1988/december, 440 - 441. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Konvergens sorok, Lefedések, Terület, felszín, Mértani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/január: F.2671

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy a feladat kérdésére a válasz nemleges. Ehhez elegendő síkidomoknak egy olyan rendszerét megadni, amely végtelen sok síkidomból áll, és közülük egyik sem fedhető le a többivel. Téglalapokat adunk meg ebből a célból; legyenek ezek $T_{1}$ , $T_{2}$ , $T_{3}$ , $...$ . Az $n$ -edik téglalap, $T_{n}$ oldalainak hosszúsága legyen $8^{n} és \frac{1}{8^{n}} (n = 1, 2, 3, ...) .$ Belátjuk, hogy ekkor egyik téglalap sem fedhető le a többivel. Ez abból következik majd, hogy e téglalapokat akárhogyan helyezzük is el, $T_{n}$ -ből a többiek által lefedett részek területének összege mindig kisebb $T_{n}$ területénél, azaz 1-nél (minden $n$ -re).
Legyen $n > k$ ; vizsgáljuk meg, hogy a téglalapok tetszőleges elhelyezése mellett legfeljebb mekkora lehet $T_{n}$ és $T_{k}$ közös részének a területe. Ha a közös rész nem üres, foglaljuk bele egy olyan téglalapba, amelynek két szemközti oldala $T_{n}$ két hosszabbik oldalán van, másik két oldala pedig párhuzamos $T_{n}$ rövidebbik oldalával; a legkisebb ilyen téglalap utóbbi oldalai nyilván tartalmaznak $T_{k}$ -hoz tartozó pontokat ‐ ezek közül egyet-egyet jelöljünk $P$ -vel, ill. $Q$ -val (l. az ábrán).

Becsüljük meg, hogy legfeljebb mekkora lehet ennek a köréírt téglalapnak a területe! A téglalap egyik oldala

\frac{1}{8^{n}}

hosszúságú, másik oldala pedig legfeljebb

P Q

. Mivel

P

és

Q

T_{k}

téglalap pontjai, ezért távolságuk legfeljebb akkora lehet, mint

T_{k}

átmérője, az pedig kisebb a hosszabbik oldal 2-szeresénél,

2 \cdot 8^{k}

-nál. Téglalapunk területe ezért kisebb, mint

\begin{matrix} \frac{1}{8^{n}} \cdot 2 \cdot 8^{k} = \frac{2}{2^{n - k}} \cdot \frac{1}{4^{n - k}}, \end{matrix}

ez pedig legfeljebb

\frac{1}{4^{n - k}}

; így

T_{n}

és

T_{k}

közös részének a területe is kisebb

\frac{1}{4^{n - k}}

-nál.
Próbáljuk meg ezután

T_{n}

-et a

T_{1}, T_{2}, ... T_{n + 1}, T_{n + 2}, ...

téglalapokkal lefedni. Az előbbiek szerint az általuk

T_{n}

-ből lefedett részek területe rendre kisebb, mint

\begin{matrix} \frac{1}{4^{n - 1}}, \frac{1}{4^{n - 2}}, ..., \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4^{2}}, ... \end{matrix}

A téglalapok által együttesen lefedett rész területe legfeljebb az egyenként lefedett részek területének az összege lehet, ami tehát

\begin{matrix} L = (\frac{1}{4^{n - 1}} + \frac{1}{4^{n - 2}} + ... + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} + \frac{1}{4^{2}} + ...) - \end{matrix}

nél kisebb. A második zárójelben egy végtelen mértani sor összege, az elsőben pedig ennek egy részösszege áll, így

\begin{matrix} L < 2 (\frac{1}{4} + \frac{1}{4^{2}} + ...) = 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{2}{3} < 1. \end{matrix}

Mivel

T_{n}

területe 1, ezért

T_{n}

-et nem lehet lefedni a

T_{1}

T_{2}

...

T_{n - 1}

T_{n + 1}

T_{n + 2}

...

téglalapokkal.

Fleiner Tamás (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., III. o. t.)
dolgozata alapján

Megjegyzés A megoldásban szereplő ‐ olykor elég durva ‐ becslések az egyszerű számolást segítették elő. Ezzel kapcsolatban megemlítjük, hogy ha a téglalapok oldalait például

4^{n}

és

\frac{1}{4^{n}}

hosszúságúnak választjuk, akkor ugyanezek a növelések már nem vezetnek a kívánt eredményre.