A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A szóban forgó számok közül nevezzük -t és -t egymás ismerőseinek, ha található számaik között olyan | | hogy | | ahol egész számok. A számok között lehetnek egyenlők is. Az ismerős , számokat (egymáshoz) barátságosnak, ill. ellenségesnek fogjuk hívni aszerint, hogy a fenti páros vagy pedig páratlan. (Speciálisan, ha alakú, akkor és ellenséges.) Igen könnyen látható, hogy ekkor érvényesek a következő szabályok: (1) Ha és ismerősök, és és is ismerősök, akkor és ugyancsak ismerősök. (2) Ha és barátságos, továbbá és is barátságos, akkor és is barátságos. (3) Ha és ellenséges, valamint és is ellenséges, akkor és barátságos. Korántsem ennyire nyilvánvaló az alábbi állítás: (4) Ha és barátságos, akkor nem lehet ellenséges. Tételezzük fel ugyanis, hogy és barátságos és ugyanakkor ellenséges is. Ez azt jelenti, hogy a megadott számok közül kiválasztható és úgy, hogy
(alkalmas , egészekkel). Ekkor azonban
ahol , mindegyike vagy . A fenti egyenlőségeket összeadva | | (5) | adódik. Jelölje a , egészek abszolút értékének maximumát. Az (5) összefüggés mindkét oldalát -nel megszorozva azt kapjuk, hogy | | (6) | Mivel itt , , ezért a (6)-ban szereplő összegek minden tagja páratlan egész szám. A tagok száma, azonban szintén páratlan, így az összeg nem lehet páros (tehát sem); ez ellentmondás, amivel (4)-et igazoltuk. Ahhoz, hogy számainkat a kívánt módon két csoportra oszthassuk, előbb osztályokba soroljuk őket a következőképpen. Válasszunk ki közülük tetszőlegesen egy számot, és soroljuk az első osztályba -et és ismerőseit. Ha ezeken kívül marad még szám, akkor ezek közül válasszunk egy -t, és soroljuk a második osztályba -t és ismerőseit. Az eljárást folytatva végül valamennyi számot besorolhatjuk osztály valamelyikébe, ahol az osztályok rendre -ből és ezek ismerőseiből állnak. Különböző osztályokba tartozó számok különbsége sohasem alakú; ha ugyanis az -edik, pedig a -edik osztályban van, és , egész), akkor és ismerősök. Azonban és , valamint és is ismerősök, ezért (1) miatt és szintén ismerősök, ami lehetetlen. Elegendő tehát az azonos osztályba tartozó számokat a kívánt módon két csoportra osztani. A -edik osztály esetében alkossa az első csoportot és az -vel barátságos számok, míg a második csoportba az -vel ellenséges számokat soroljuk. (2) szerint bármely két (különböző), az első csoportba tartozó szám barátságos, és (3) szerint ugyanez mondható a második csoport bármely két számáról is. (4) miatt tehát azonos csoportban levő számok nem lehetnek ellenségesek, így különbségük biztosan nem alakú.
Megjegyzések. 1. A feladat állítása helyett -ra is igaz, tetszőleges páratlan -val. A közölt bizonyítás némi módosításával belátható továbbá, hogy nemcsak véges sok, hanem akárhány (pl. az összes!) valós szám is két csoportra osztható a kívánt módon. 2. Tekintsük azt a gráfot, amelynek csúcsai a feladatban szereplő valós számok, és két csúcsot akkor köt össze él, ha a megfelelő számok különbsége alakú. A feladat szerint ekkor a kapott gráf páros. Ismeretes, hogy egy gráf akkor és csak akkor páros, ha minden körében páros sok él van. A fenti bizonyítás során is tulajdonképpen azt mutattuk meg, hogy ebben a gráfban nincs páratlan sok élből álló kör (l. (4)), majd ennek felhasználásával igazoltuk a gráf párosságát.
|