Kezdőlap


Feladat:	F.2669	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1988/október, 302. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Exponenciális egyenletek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/január: F.2669

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenlet bal oldalán az $a = 2^{x}$ , $b = 3^{x}$ , $c = 4^{x}$ , $d = 5^{x}$ számok köbének összege áll, a jobb oldalon pedig $24^{x} = 2^{x} \cdot 3^{x} \cdot 4^{x} = a b c$ , $30^{x} = a b d$ , $40^{x} = a c d$ és $60^{x} = b c d$ . Egyenletünk tehát

\begin{matrix} a^{3} + b^{3} + c^{3} + d^{3} = a b c + a b d + a c d + b c d \end{matrix}

alakú, ahol

a

b

c

d

pozitív számok. A számtani és mértani közép közti összefüggés szerint azonban minden pozitív

a

b

c

d

-re

\begin{matrix} \frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{3} ≧ a b c, \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} \frac{a^{3} + b^{3} + d^{3}}{3} ≧ a b d, \end{matrix}

(2)

\begin{matrix} \frac{a^{3} + c^{3} + d^{3}}{3} ≧ a c d, \end{matrix}

(3)

\begin{matrix} \frac{b^{3} + c^{3} + d^{3}}{3} ≧ b c d \end{matrix}

(4)

teljesül. A négy egyenlőtlenséget összeadva azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} a^{3} + b^{3} + c^{3} + d^{3} ≧ a b c + a b d + a c d + b c d, \end{matrix}

itt egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha (1), (2), (3) és (4) mindegyikében egyenlőség van, azaz ha

a = b = c = d

.
Egyenletünk megoldásai tehát azok az

x

számok, amelyekre

2^{x} = 3^{x} = 4^{x} = 5^{x}

. Innen

4^{x} = 2^{x}

egyenértékű a

2^{x} = 1

feltétellel, s ez a

2^{x}

függvény szigorú monotonitása miatt egyedül

x = 0

-ra teljesül. Az

x = 0

valóban megoldás, hiszen akkor az egyenlet mindkét oldalán

4

áll.