Tíz egymást követő egész szám között mindig van 5-tel osztható, 7-tel osztható, 8-cal osztható és 9-cel osztható is. A keresett szám tehát szintén osztható ezekkel a számokkal. Mivel ez a négy szám egymáshoz páronként relatív prím, a keresett szám osztható ezek szorzatával, $2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7=2520$-szal is. Megfordítva: Ha egy egész szám osztható 2520-szal, akkor nyilván osztható 2520 valamennyi osztójával, s utóbbiak között létezik tíz egymást követő, nevezetesen $\mathrm{1,}\mathrm{2,}\mathrm{3,}\text{...}\mathrm{,}10$. Feladatunk tehát annak a legkisebb, 2520-szal osztható $n$ pozitív egész számnak a megtalálása, amelynek 144 pozitív osztója van.
Legyen $n$ prímtényezős felbontása $n=p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdot \text{...}\cdot p_k^{a_k}$, ahol $p_1<p_2<\text{...}<p_k$. Ismeretes, hogy $n$ (pozitív) osztóinak száma $\left(a_1+1\right)\left(a_2+1\right)\cdot \text{...}\cdot \left(a_k+1\right)$. Megmutatjuk, hogy $a_1\geqq a_2\geqq \text{...}\geqq a_k$. Tételezzük fel ugyanis, hogy például $a_1<a_2$; az $n\text{'}=p_1^{a_2}\cdot p_2^{a_1}\cdot p_3^{a_3}\cdot \text{...}\cdot p_k^{a_k}$ számnak ekkor ugyanannyi osztója van, mint $n$-nek, és $n\text{'}$ is osztható 2520-szal, hisz ennek a prímtényezős felbontásában a két kitevő nagyságviszonya éppen fordítottja a megfelelő prímek nagyságviszonyának. Mivel azonban $n\text{'}<n$, ellentmondásra jutunk azzal a feltevéssel, hogy $n$ a legkisebb keresett tulajdonságú szám. Ugyancsak $n$ minimalitásából következik, hogy $n$ prímtényezős felbontásában $p_1=2$, $p_2=3$, $p_3=5$, $p_4=7$, és általában $p_i$ az $i$-edik prím. Mivel $n$ osztható 2520-szal, ezért $a_1\geqq 3$, $a_2\geqq 2$, $a_3\geqq 1$ és $a_4\geqq 1$. Az $\left(a_1+1\right)\cdot \text{...}\cdot \left(a_k+1\right)=144$ összefüggés alapján tehát 144-et fel kell írnunk legalább négy (1-nél nagyobb) tényező szorzataként úgy, hogy az egyik tényező legalább 4, egy másik pedig legalább 3 legyen. Ezt nyolcféleképpen tehetjük meg (l. az alábbi táblázatban).