A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Tíz egymást követő egész szám között mindig van 5-tel osztható, 7-tel osztható, 8-cal osztható és 9-cel osztható is. A keresett szám tehát szintén osztható ezekkel a számokkal. Mivel ez a négy szám egymáshoz páronként relatív prím, a keresett szám osztható ezek szorzatával, -szal is. Megfordítva: Ha egy egész szám osztható 2520-szal, akkor nyilván osztható 2520 valamennyi osztójával, s utóbbiak között létezik tíz egymást követő, nevezetesen . Feladatunk tehát annak a legkisebb, 2520-szal osztható pozitív egész számnak a megtalálása, amelynek 144 pozitív osztója van. Legyen prímtényezős felbontása , ahol . Ismeretes, hogy (pozitív) osztóinak száma . Megmutatjuk, hogy . Tételezzük fel ugyanis, hogy például ; az számnak ekkor ugyanannyi osztója van, mint -nek, és is osztható 2520-szal, hisz ennek a prímtényezős felbontásában a két kitevő nagyságviszonya éppen fordítottja a megfelelő prímek nagyságviszonyának. Mivel azonban , ellentmondásra jutunk azzal a feltevéssel, hogy a legkisebb keresett tulajdonságú szám. Ugyancsak minimalitásából következik, hogy prímtényezős felbontásában , , , , és általában az -edik prím. Mivel osztható 2520-szal, ezért , , és . Az összefüggés alapján tehát 144-et fel kell írnunk legalább négy (1-nél nagyobb) tényező szorzataként úgy, hogy az egyik tényező legalább 4, egy másik pedig legalább 3 legyen. Ezt nyolcféleképpen tehetjük meg (l. az alábbi táblázatban).
| |
E számok közül a keresett legkisebb 110 880.
|