Feladat: F.2665 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Biró A. ,  Kodaj B. ,  Szemerédi F. 
Füzet: 1988/május, 203 - 205. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Tengely körüli forgatás, Euler-formula, Aranymetszés, Szabályos testek, Térelemek és részeik, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1987/december: F.2665

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Belátjuk az alakzatról ‐ a feltételként kimondott három tény, valamint kiegészítő meglátásaink alapján ‐, hogy a 12 csúcs közül bármelyik kettő egyenértékű, tükrözésekkel, forgatásokkal egymásba vihető úgy, hogy egyidejűen minden más csúcs is csúcsba megy át.

 
 
1. ábra
 

Jelöljük a ritkán csíkozott téglalap csúcsait A,B,B',A'-vel, a sötét lapéit C,D,,D',C'-vel, a világoséit E,F,F',E'-vel, közös középpontjukat O-val (1. ábra).
A lapsíkpárok kimondott merőlegességein túl azt a meglátást is felhasználjuk, hogy a három lap él-irányai páronként párhuzamosak. Mindegyik párba egy XX' betűzésű és egy XY betűzésű irány tartozik, ahol X,Y a felhasznált betűk bármelyikét (alkalmas párjukat) jelentik, de X≠Y. Továbbá, hogy az egybevágóságok így értendők: egyfelől a hat XX' betűzésű él egyenlő, másfelől a hat XY betűzésű. Jelöljük ezek közös hosszát sorra 2a-val, 2b-vel; végül b>a.
 
 
2. ábra
 

A párhuzamosságok alapján az alakzat nem a 2. ábra szerinti. Elfogadható, hogy bármelyik lap síkjára tükrözve a másik két lapot, azok önmagukba mennek át és persze maga a tükörlap is.
 
 
3. ábra
 

Állítsunk egy a élhosszúságú kockát abba a térnyolcadba, amelyikből az alakzatot szemléljük, illesszük egyik csúcsát O-ba, így három lapja rátámaszkodik egyik-egyik téglalapunkra. Legyenek a kockának az ABB'A' lapra illeszkedő csúcsai O,G,H,J (G az EF élen s. í. t.), ezekkel szemben fekvő csúcsai rendre O1,G1,H1,J1. Ismeretes, hogy a kocka az OO1 testátló körüli 120∘-os forgatásokkal önmagába megy át, J1,H,G1 előbb a H,G1,J1, majd a G1,J1,H helyére fordul. Így a kockával együtt forgatott téglalapokból az A,C,E ponthármas előbb rendre a C,E,A helyzetbe, majd az E,A,C helyzetbe jut, hiszen ezek a pontok a kockaélek egyenesén vannak, az él b:a arányú meghosszabbításának végpontjai, pl. JA:JH=b:a.
Ennyit elegendőnek vélünk ahhoz, hogy állításunkat megalapozottnak mondhassuk.
A szabályos ikozaédert (húsz lapú és konvex testet) azzal tekintjük meghatározottnak, hogy minden egyes csúcsában 5 szabályos háromszöglap fut össze, ebből az ún. Euler-féle poliédertétel alapján következik, hogy a lapok száma 20, a csúcsoké 12; a lapoknak az élekben való csatlakozásából pedig az, hogy minden él egyenlő hosszú.
 
 
4. ábra
 

A fentiek szerint elegendő a C csúcs "környezetében'' azt biztosítanunk, hogy CA=CC' legyen, hiszen a szimmetriák folytán CB,CEésCE' egyenlők CA-val. Ekkor ugyanis EE'=CC' folytán a CE'E háromszög szabályos lesz, hasonlóan az E csúcs környezetében EA=EE' révén CEA szabályos s. í. t.
A CG1'JA törött vonal egymás utáni szakaszai páronként merőlegesek egymásra, követelményünk tehát így alakul:
CA2=CG1'2+G1'J2+JA2=(b-a)2+a2+b2=2(b2+a2-ab)=CC'2=4a2.
Innen a szokásos rendezéssel (a≠0 alapján):
(ba)2-(ba)-1=0,(1)

és ennek csak a pozitív gyökét fogadjuk el a téglalapok oldalai arányaként: a
ba=1+52≈1,618
arány esetén adják a három téglalap csúcsai egy szabályos ikozaéder csúcsait. Ez éppen az "aranymetszés'' arányszáma.
 

Megjegyzések. 1. Az aranymetszés arányszáma előfordul a szabályos ötszögben is, ennyi pl. az átló és az oldal aránya. Esetünkben az AEE'BC' ötszög valóban síkidom, mert csúcsai rajta vannak az O körüli OA sugarú és a C körüli CA sugarú gömbök metszés vonalán, ami kör, azaz síkidom. (A metszet forgásszimmetrikus, tehát síkja merőleges az OC tengelyre.)
2. Sokan felhasználtak egy téves képletet a Négyjegyű függvénytáblázat egyes újabb kiadásaiból, hogy az a élű ikozaéder köré írt gömb sugara R=(1+5)a/2. A fentiekből kiszámítható, hogy helyesen R=a2+b2=10+25⋅a/2.
3. Az (1) egyenlet negatív gyöke abszolút értékben az előbbinek a reciprokra: kisebb 1-nél, tehát b<a. Bonyolultabb meggondolásokkal "kikínozható'', hogy így az ikozaédercsúcs második szomszédaitól vett távolságainak egyenlőségét biztosítjuk.