Kezdőlap


Feladat:	F.2664	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Baboss Csaba , Balogh 171 József , Benczúr Péter , Binder Zsuzsanna , Bíró András , Csáki Csaba , Csőreg Sándor , Fleiner Tamás , Hidvégi Zoltán , Kodaj Bence , Kontra Péter , Lois László , Máté Nóra , Mezei József , Németh Gábor , Peller Zoltán , Rockenbauer Eszter , Sustik Mátyás
Füzet:	1989/május, 205 - 206. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szorzat, hatványozás azonosságai, Számhalmazok, Természetes számok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/december: F.2664

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A legfeljebb $n$ -jegyű pozitív egészek halmazát kiegészíthetjük a $0$ -val. Az így kapott $C_{n}$ halmazt osszuk ketté: Jelölje rendre $A_{n}$ , ill. $B_{n}$ azoknak a $C_{n}$ -beli számoknak a halmazát, amelyek számjegyeinek összege páros, ill. páratlan. A $C_{n}$ -be tartozó számok mindegyike egyértelműen előállítható $10 x + y$ alakban, ahol $x$ a $C_{n - 1}$ , $y$ pedig a $C_{1}$ halmaz egy-egy eleme. A továbbiakban mindvégig ezt az alakot használjuk majd.
I. Először azt mutatjuk meg, hogy $A_{n}$ -nek és $B_{n}$ -nek ugyanannyi eleme van, ha $n$ tetszőleges pozitív egész. Jelöljük egy $H$ halmaz elemeinek a számát $E (H)$ -val; nyilván $E (A_{1}) = E (B_{1}) = 5$ . Ha $n > 1$ , akkor $C_{n}$ elemei $10 x$ , $10 x + 2$ , $10 x + 4$ , $10 x + 6$ , $10 x + 8$ , $10 x + 1$ , $10 x + 3$ , $10 x + 5$ , $10 x + 7$ , ill $10 x + 9$ , alakúak. Ezek közül az első öt típusba tartozók számjegyösszege $x$ -ével azonos paritású, míg a második öt fajtáé az $x$ paritásával ellentétes. Így minden rögzített $x$ -re a fenti tíz szám közül öt $A_{n}$ -ben, öt pedig $B_{n}$ -ben van, ezért $E (A_{n}) = E (B_{n})$ .
II. Másodjára azt látjuk be, hogy ha $n > 1$ , akkor $A_{n}$ és $B_{n}$ elemeinek összege egyenlő. Számítsuk ki az $S_{n} = \sum_{a \in A_{n}} a - \sum_{b \in B_{n}} b$ különbséget! Ha $x \in A_{n - 1}$ , akkor a $10 x + y$ alakú számok hozzájárulása $S_{n}$ -hez:

\begin{matrix} 10 x + (10 x + 2) + ... + (10 x + 8) - (10 x + 1) - ... - (10 x + 9) = - 5. \end{matrix}

x \in B_{n - 1}

, esetén pedig

\begin{matrix} (10 x + 1) + (10 x + 3) + ... + (10 x + 9) - 10 x - (10 x + 2) - ... - (10 x + 8) = 5. \end{matrix}

Így

\begin{matrix} S_{n} = \sum_{x \in A_{n - 1}}^{} (- 5) + \sum_{x \in B_{n - 1}}^{} 5 = (- 5) (E (A_{n - 1}) - E (B_{n - 1})) = 0. \end{matrix}

III. Feladatunk állítására térve a

Q_{n} = \sum_{a \in A_{n}} a^{2} - \sum_{b \in B_{n}} b^{2}

különbségről belátjuk, hogy az értéke nulla. Ha

x \in A_{n - 1}

, akkor a

{(10 x + y)}^{2}

alakú tagok adaléka

Q_{n}

-hez:

\begin{matrix} {(10 x)}^{2} + {(10 x + 2)}^{2} + ... + {(10 x + 8)}^{2} - {(10 x + 1)}^{2} - {(10 x + 3)}^{2} - ... - {(10 x + 9)}^{2} = \\ = 2 \cdot 10 x (2 + 4 + 6 + 8) + (2^{2} + 4^{2} + 6^{2} + 8^{2}) - 2 \cdot 10 x (1 + 3 + 5 + 7 + 9) - \\ - (1^{2} + 3^{2} + 5^{2} + 7^{2} + 9^{2}) = c x + d . \end{matrix}

x \in B_{n - 1}

, akkor a megfelelő számok négyzetének adaléka:

\begin{matrix} {(10 x + 1)}^{2} + {(10 x + 3)}^{2} + ... + {(10 x + 9)}^{2} - {(10 x)}^{2} - {(10 x + 2)}^{2} ... - {(10 x + 8)}^{2} = - c x - d . \end{matrix}

Így

\begin{matrix} Q_{n} = \sum_{x \in A_{n - 1}}^{} (c x - d) + \sum_{x \in B_{n - 1}}^{} (- c x - d) = c S_{n - 1} + d (E (A_{n - 1}) - E (B_{n - 1})) = 0. \end{matrix}