Kezdőlap


Feladat:	F.2663	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1988/május, 202 - 203. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Diofantikus egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/december: F.2663

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egy szám pontosan akkor $\frac{k + \sqrt[]{k^{2} - 4}}{2}$ alakú, ha a nagyobbik
megoldása az

\begin{matrix} x^{2} - k x + 1 = 0 \end{matrix}

(1)

másodfokú egyenletnek. Ha

k ≧ 2,

akkor ennek az egyenletnek két pozitív gyöke van, a nagyobbik nem kisebb 1-nél, a kisebbik nem nagyobb 1-nél (a gyökök összege pozitív, szorzatuk 1).
Az

A

tehát pontosan akkor

\frac{1}{2} (k + \sqrt[]{k^{2} - 4})

alakú, ha valamely

k ≧ 2

egészre 1-nél nem kisebb megoldása (1)-nek.
A mi esetünkben

A ≧ 1,

mert egy 1-nél nem kisebb szám,

\frac{(n + \sqrt[]{n^{2} - 4}}{2},

pozitív egész kitevőjű hatványa. Elég tehát olyan 1-nél nagyobb egész

k

számot keresnünk, amelyre

A^{2} - k A + 1 = 0,

vagyis

k = A + \frac{1}{A} .

Más szóval elég bizonyítanunk, hogy

\begin{matrix} k = A + \frac{1}{A} = {(\frac{n + \sqrt[]{n^{2} - 4}}{2})}^{m} + {(\frac{2}{n + \sqrt[]{n^{2} - 4}})}^{m} = {(\frac{n \sqrt[]{n^{2} - 4}}{2})}^{m} + {(\frac{n - \sqrt[]{n^{2} - 4}}{2})}^{m} \end{matrix}

1-nél nagyobb egész szám.
A

k ≧ 2

feltétel nyilván teljesül, hiszen

k

egy pozitív számnak

(A)

és a reciprokának az összege.
Ha

n = 2

, akkor

k

nyilván egész, legyen tehát

n ≧ 3.

Ekkor

p = \frac{n + \sqrt[]{n^{2} - 4}}{2}

és

q = \frac{n - \sqrt[]{n^{2} - 4}}{2}

különböző számok, összegük

n

, szorzatuk 1, tehát

p

és

q

x^{2} - n x + 1 = 0

egyenlet két gyöke. Ezért fennáll rájuk az

\begin{matrix} x^{2} = n x - 1 \end{matrix}

összefüggés.
Ezt

x^{m - 2}

-nel szorozva és

x

helyére

p

-t, illetve

q

-t helyettesítve kapjuk, hogy

\begin{matrix} p^{m} = n p^{m - 1} - p^{m - 2} és q^{m} = n q^{m - 1} - q^{m - 2}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} p^{m} + q^{m} = n (p^{m - 1} + q^{m - 1}) - (p^{m - 2} + q^{m - 2}) . \end{matrix}

(2)

Ha most

p^{m - 2} + q^{m - 2} és p^{m - 1} + q^{m - 1}

egész, akkor (2) jobb oldala egész, és így a bal oldal is az. Mivel

p^{0} + q^{0} = 2 és p^{1} + q^{1} = p + q = n

egész, ezért teljes indukcióval kapjuk, hogy

p^{m} + q^{m}

minden

m

-re egész, és ezt akartuk bizonyítani.